Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
неправильность видна и из того, что при абсолютном нуле вся масса
жидкости является сверхтекучей, между тем как отнюдь не все ее частицы
находятся в конденсате1).
§ 27. Температурная зависимость плотности конденсата
Плотность числа частиц в конденсате максимальна при Т - О, а при
повышении температуры она падает. Предельный закон температурной
зависимости этой плотности при Т->-0 может быть найден путем рассмотрения
флуктуаций макроскопической величины-конденсатной волновой функции S (R.
A. Ferrell, N. Menyhard, Н. Schmidt, F. Schwabl, P. Szepfalusy, 1968).
Напомним прежде всего, что S есть классическая величина, которой в
квантовомеханическом формализме отвечает оператор Ф. Поэтому для
вычисления флуктуаций следовало бы, в принципе, пользоваться этим
оператором. С другой стороны, вблизи абсолютного нуля основную роль в
спектре флуктуаций макроскопической величины играют длинноволновые
колебания. Эти колебания в жидкости представляют собой звуковые волны,
описывающиеся макроскопическими уравнениями гидродинамики, и тем самым
возникает возможность построить оператор, отвечающий величине Е, путем ее
независимого квантования.
В данном случае для величины Е -Уп0 exp (f<P) в длинноволновом пределе
наиболее сильно флуктуирует фаза Ф, непосредственно связанная с
потенциалом сверхтекучей скорости формулой (26,13). Напомним, что обе
величины ф и Ф неоднозначны- к ним можно прибавить любую константу.
Однозначная же величина Vп0 может выражаться поэтому лишь через
производные от Ф, а потому компоненты Фурье ее флуктуаций будут содержать
лишние.степени волнового вектора к, т. е. будут малы при малых к.
г) Фактически плотность конденсата в жидком гелии составляет, по-
видимому, лишь малую долю от полной плотности жидкости.
134
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
Связь фазы Ф с потенциалом <р позволяет прямо связать ее с величинами,
характеризующими распределение фононов в жидкости. Для этого
рассматриваем <р, а тем самым и Ф как вторично-квантованный оператор,
выразив его, согласно (24, 10), через операторы рождения и уничтожения
фононов:
(невозмущенную плотность жидкости записываем в виде р = пт, где п -
плотность числа частиц, индекс 0 опускаем). Согласно сказанному выше, это
означает, что оператор макроскопической величины S, т. е. длинноволновая
часть оператора Ф, может быть представлена в виде
где п0-плотность частиц конденсата.
Прежде всего воспользуемся этой формулой для вычисления распределения
"надконденсатных" частиц бозе-жидкости по импульсам (при малых значениях
последних). В одночастичной матрице плотности р(гх, г2) при больших
расстояниях |гх-г2| можно воспользоваться длинноволновым выражением i^-
onepa-тора (27,2):
ЛГр (rlf г2) = <?+ (г,) Ф (rj> " n0<e~iS>+ <',)е<ф fr.) >, (27,3)
где среднее берется по состоянию жидкости при данной температуре. Ввиду
малости флуктуаций следует разложить это
Третий член стремится к нулю при |г2-T.J->-оо и дает искомую
надконденсатную часть матрицы плотности (второй же член в однородной
жидкости вообще не зависит от г и дает поправку к плотности конденсата,
которая будет вычислена ниже несколько иным способом). Используя (27,1),
приводим надконденсатную часть к виду
Ф =2 {-ШГгУ2 &е,рг/* +&-1рг/%) (27,1)
Р
W = Vn0 exp(t'O),
(27,2)
р
где
пр = [еР"/Т - 1]-*.
§ 27] ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПЛОТНОСТИ КОНДЕНСАТА 135
Переходя от суммирования к интегрированию, имеем
"P'(r" (27,6)
Это выражение, разумеется, справедливо только для вклада от малых р (%!р
велико по сравнению с межатомными расстояниями). Подынтегральное
выражение в (27,5) прямо определяет распределение частиц по импульсам
дг(р) = _Ж ("р + ^-). (27,6)
При Т - 0 эта формула дает
= <27'7) (/. Gavoret, Ph. Nozieres, 1964), а при ТФ0, ир<^.Т;
^(Р) = ^. (27,8)
Теперь можно определить температурную зависимость плотности конденсата.
По определению, имеем
МГ)-В-5ЛЧ Р)-Дг- (27,9)
Если прямо подставить в эту формулу (27,6), интеграл разойдется из-за
нулевых колебаний. Это обстоятельство связано с неприменимостью (27,6)
при больших р и означает лишь невозможность вычислить таким способом
значение конденсатной плотности при Т = О, которое надо считать здесь
заданной величиной. Для определения же искомой температурной зависимости
надо вычесть из п0(Т) ее значение при Т = О, после чего интеграл уже
будет сходиться. В результате получим
п0 (Г)-п0 (0) ___Г* п р (Рр
по (0) п ) р (2п%)г
тТ2 f* х dx mT2
2 n^nuh3
При вычислении мы пренебрегли температурной зависимостью полной плотности
жидкости; это пренебрежение законно, поскольку тепловое расширение
жидкости (связанное с возбуждением фононов) пропорционально более высокой
степени температуры- Т4 (ср. V § 67)1).
!) Полученные формулы, справедливые для любой бозе-жидкости, находятся,
конечно, в согласии с полученными в § 25 формулами для слабо неидеального
бозе-газа. При сравнении надо учесть, что для такого газа п0~п, а условие
малости р имеет вид р <^.ти~%(ап)1^2.
