Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
пропорционально г.
Для вихревой нити произвольной формы распределение скоростей дается
формулой
где интегрирование производится вдоль нити, a R - радиус-вектор,
проведенный от d\ к точке наблюдения скорости1). На расстояниях от нити,
малых по сравнению с ее радиусом кривизны, формула (29,4) приближенно
сводится, конечно, к
Как уже было отмечено, формулы (29,2-4) являются .следствием одной лишь
потенциальности движения жидкости. Квантовая же природа вихревых нитей в
сверхтекучей жидкости проявляется в том, что постоянная х может иметь
лишь значения из определенного дискретного ряда. Действительно,
воспользовавшись выражением (26,12) скорости vs через фазу Ф волновой
функции конденсата, находим для ее циркуляции
где ЛФ-изменение фазы при обходе контура. Но ввиду однозначности волновой
функции изменение ее фазы при возвращении в исходную точку может быть
лишь целым кратным
!) Это выражение можно написать прямо по аналогии с известной формулой
Био-Савара для магнитного поля линейных токов. Формальное совпадение
обеих задач очевидно из сравнения циркуляции скорости (29,2) с цир-
Л ^
куляцией магнитного поля Н вокруг линейного тока J: wHdl = --J- Одна
задача получается из другой заменой обозначений: Н-*¦ vs, Jjc--
(29,3)
(29,4)
(29,3).
(29,5)
КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ
141
от 2л. Отсюда следует, что
к = пЛ/т, (29,6)
где п-целое число. Мы увидим ниже, что термодинамически устойчивы
фактически лишь вихревые нити с наименьшим возможным значением
циркуляции- (п = 1). Поэтому далее мы будем полагать
K = 'k/m. (29,7)
Определим теперь критическую скорость вращения цилиндрического сосуда,
при которой впервые появляется вихревая нить. Из соображений симметрии
очевидно, что эта нить будет расположена вдоль оси сосуда. Изменение
энергии жидкости за счет появления в ней вихревой нити есть
АЕ = j* ¦-1 dV = у L j* vl ¦ 2яr dr = Lpsnv? j* y
(L-длина сосуда). Интегрирование no dr должно производиться
в пределах между радиусом сосуда R и некоторым значением
г ~ а порядка величины атомных расстояний, на которых макроскопическое
рассмотрение теряет смысл; ввиду логарифмической расходимости интеграла
его величина мало чувствительна к точному выбору значения а. Таким
образом,
ДЯ = 1яр,^в1п|- (29,8)
(это выражение имеет, как говорят, логарифмическую точность, т. е.
предполагается большим не только отношение R/a, но и его логарифм)1).
Момент же импульса вращающейся жидкости:
м==§ РdV = Р*х j dV = Ljt^2 Ьр*- (29>9)
Возникновение вихревой нити термодинамически выгодно, если АЕир = АЕ - MQ
< 0, т. е. если
?3>Q,p=^lnf. (29,10)
Изложенные рассуждения позволяют также понять причину, по которой
оказываются термодинамически неустойчивыми
3) Движение вокруг вихревой нити сопровождается, вообще говоря,
некоторым изменением плотности жидкости. Пренебрежение в изложенном
вычислении этим изменением оправдано тем, что основной вклад в энергию
(29,8) возникает (в силу логарифмической расходимости интеграла) от
больших расстояний г, на которых изменение плотности уже мало. По этой же
причине можно пренебречь вкладом в ДЕ от изменения внутренней энергии
жидкости.
142
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
вихревые нити ск>1 в (29,6). Действительно, при замене значения п= 1
значением и> 1 энергия АЕ увеличивается в п2 раз, а момент М - в п раз;
при этом A?Bp заведомо увеличится.
При дальнейшем увеличении скорости вращения цилиндрического сосуда (за
критическим значением (29,10)) возникают новые вихревые нити, и при
Q^>QKP число этих нитей будет уже очень большим. Их распределение по
сечению сосуда стремится при этом к равномерному, и в пределе их
совокупность имитирует вращение всей сверхтекучей части жидкости как
целого1). Число вихревых нитей при заданном (большом) значении Q легко
определить, потребовав, чтобы циркуляция скорости по контуру,
охватывающему большое число нитей, имела бы значение, отвечающее вращению
жидкости как целого. Если такой контур охватывает единичную площадь (в
плоскости, перпендикулярной оси вращения), то
? v, d\ = v • 2пк = 2jtv - , у s т '
где v - плотность распределения вихревых нитей по сечению сосуда. С
другой стороны, при вращении жидкости как целого rotv5 = 2Q, и та же
циркуляция равна 2Я. Приравняв оба значения, найдем
v - mQ/nfi. (29,11)
Появление вихревых нитей в известном смысле нарушает свойство
сверхтекучести жидкости. Элементарные возбуждения, составляющие
нормальную компоненту жидкости, будут теперь рассеиваться на нитях,
передавая им (а тем самым - сверхтекучей компоненте жидкости) часть
своего импульса. Это означает, другими словами, появление силы взаимного
трения между обеими компонентами жидкости.
Вихревые нити, вообще говоря, перемещаются в пространстве вместе с
текущей жидкостью. При Т - 0, когда жидкость целиком сверхтекуча, каждый
элемент dl нити движется с той скоростью v5, которую жидкость имеет в
точке нахождения этого элемента. При отличных же от нуля температурах
испытываемая вихревой нитью сила трения приводит к появлению некоторой
