Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
скорости ее перемещения относительно сверхтекучей компоненты.
Вихревые нити, возникающие при вращении, имеют прямолинейную форму.
Течение же жидкости по капиллярам, щелям
J) В этом легко убедиться, заметив, что так как число нитей растет
пропорционально ?2 (см. ниже (29,11)), то второй член в Д?вр = Д?' - MQ
растет, как ?22, а первый-как Q, и поэтому при ?2^>?2кр им можно
пренебречь. Тогда минимизация А?Вр сводится к максимизации М, достигаемой
именно при вращении жидкости как целого.
§ 29]
КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ
143
и т. п. может сопровождаться образованием замкнутых вихревых нитей-
вихревых колец. Оно приводит к нарушению сверхтекучести при течении со
скоростями, превышающими определенную критическую величину. Фактические
значения этих критических скоростей зависят от конкретных условий
течения; они гораздо меньше того значения, за которым нарушается условие
(23,3).
В противоположность прямолинейным вихревым нитям, которые могут стоять на
месте в покоящейся (вдали от них) жидкости, вихревые кольца движутся
относительно жидкости. Скорость перемещения каждого элемента длины нити
есть то значение vs, которое создается (согласно формуле (29,4)) в точке
его нахождения всеми остальными участками нити; для искривленных нитей
это значение, вообще говоря, отлично от нуля. В результате вихревые
кольца имеют как целое не только определенные энергии, но и определенные
импульсы и, в этом смысле, представляют собой особый тип элементарных
возбуждений.
Задач и
1. Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца.
Решение. Каждый элемент кольца движется со скоростью \s в дан-
ной точке, а ввиду симметрии кругового кольца эта скорость точках
одинакова. Поэтому достаточно определить скорость V.S, создаваемую в
какой-либо одной точке кольца Р всеми остальными его частями. Элементы dl
кольца и радиус-векторы R от dl к точке Р лежат в плоскости кольца;
поэтому определяемая формулой (29,4) скорость в точке Р перпендикулярна
плоскости кольца (в результате чего кольцо перемещается без изменения
своей формы и размера).
Определим положение элемента dl углом д (рис. 3). Тогда
dl = R0 dfl,
во всех его
д
R = 2R0 sin у,
(где R0 - радиус кольца), и из (29,4) находим для скорости кольца v
выражение
я
dd
V~~ 8R9 ^ J si
sin (d/2)'
Этот интеграл, однако, логарифмически расходится на нижнем пределе и
должен быть обрезан на значении ft~a/R0, отвечающем атомным расстояниям
(~ а) элемента dl до точки Р. С логарифмической точностью интеграл
определяется областью значений a/Ra О л и равен
~1
144
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
так что
х . R0 % , Rt, ...
V~2R0 a ~2mR6 а ' ( )
С той же логарифмической точностью энергия вихревого кольца
е = 2^0р^1гЗ (2)
(формула (29,8) с заменой R-> R0, L-у2пR0). Энергия е связана со
скоростью v соотношением de/dp = v, где р - импульс кольца. Отсюда
dp = ^ = 4n*ps~R0dR0
(с логарифмической точностью, при дифференцировании следует считать
большой логарифм постоянным), и затем
р = 2я2р,Ая20. (3)
Формулы (2), (3) определяют в параметрическом виде (параметр R0)
зависимость е (р) для вихревых колец.
Отметим, что ввиду логарифмического характера интегрирования,
приводящего к формуле (1), эта формула (с некоторым
изменением обозначений
в ней) остается справедливой и для скорости v перемещения каждого данного
элемента искривленной вихревой нити любой формы:
у=йь,14- (4)
Здесь b - единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в
данной точке нити (вектор бинормали); R0-радиус кривизны нити в этой же
точке; X - характерное расстояние, на котором меняется кривизна нити.
2. Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой нити
(W. Thomson, 1880).
Решение. Выбираем линию нити в качестве оси z, и пусть вектор т-(х, у)
дает отклонение точек нити при ее колебаниях; он является функцией г и
времени t вида ехр [г (кг- со/)]. Скорость точек нити дается формулой
(4), в которой под X надо в данном случае понимать длину волны колебаний
(А,~ 1 /к)
dr v. , 1 b
У = -=-ШГ=-^1п-г7Г. dt 2 ak R0
Вектор бинормали b=[tn], где t и п-единичные векторы касательной и
главной нормали к кривой. Согласно известной формуле дифференциальной
геометрии, d2r/di2 = n//?0, где I-длина, отсчитываемая вдоль кривой. При
малых колебаниях нить слабо изогнута, так что можно положить i " z и
i = nz (единичный вектор вдоль оси г)'; тогда
Таким образом, находим уравнение движения нити
§ 30]
ВИХРЕВАЯ НИТЬ В ПОЧТИ ИДЕАЛЬНОМ БОЗЕ-ГАЗЕ
145
В раскрытом виде оно дает систему двух линейных однородных уравнений для
х и у\; приравняв нулю определитель этой системы, получим искомую связь
между со и k:
§ 30. Вихревая нить в почти идеальном бозе-газе
Как уже упоминалось, толщина самой вихревой нити в жидкости измеряется
атомными расстояниями. Исключение в этом отношении представляет, однако,
случай почти идеального базе-газа. Здесь "сердцевина" вихревой нити, в
которой свойства среды существенно изменены, имеет (как мы увидим ниже)
