Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
макроскопическую толщину, и ее структура может быть описана
макроскопическим образом (В. Л. Гинзбург, Л. П. Питаевский, 1958; Л. П.
Питаевский, 1961; Е. P. Gross, 1961).
Рассмотрим слабо неидеальный газ при абсолютном нуле температуры. В таком
газе почти все его частицы находятся в конденсатном состоянии. В терминах
'ф-операторов это значит, что "надконденсатная" часть оператора (Y') мала
по сравнению с его средним значением, т. е. по сравнению с конден-сатной
волновой функцией S. Если пренебречь этой малой частью вовсе, то функция
S будет удовлетворять тому же "уравнению Шредингера" (7,8), которое имеет
место для полного оператора Ф. С учетом лишь парных взаимодействий оно
имеет вид (для бесспиновых частиц)
d|s(i,r)_-(Ji4 + ll)3(f,r) +
+ E(f,r)J\E(t,r')\*U (r-r')d*x'. (30,1)
Считая функцию S (t, г') мало меняющейся на атомных расстояниях, мы можем
вынести ее (заменив на S (t, г)) из-под знака интеграла, который сводится
тогда к J U (r)d3x = И0. Подставив также
значение \x, = nU0 (см. (25,6); п - невозмущенное значение плотности,
числа частиц в газе), получим уравнение
йЩ- = ~ШАЕ +'U° I 512-"ЕЬ (30,2)
В стационарном состоянии Е не зависит от времени1). Пря-
*) Напомним, что уравнение (30,1) уже отвечает гамильтониану #'= = И-УУц1
146 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ [ГЛ. III
молинейной вихревой нити соответствует решение вида
B=V-ne*f(^, r.-yfe. (30,3)
где г и ф - расстояние до оси вихря и полярный угол вокруг нее. Фаза этой
функции отвечает значению циркуляции (29,7).
Квадрат | S |а есть плотность числа частиц в конденсате; в
рассматриваемом приближении она совпадает с полной плотностью газа. При
г->-оо последняя должна стремиться к заданному значению п, а функция /-
соответственно к 1.
Введя безразмерную переменную ? = г/г0, получим для функции /(!)
уравнение
11(^1 )"? + ;-/• = °. (30,4)
На рис. 4 показано решение, полученное из (30,4) численным
интегрированием. При |->-0 оно обращается в нуль пропорционально ?, а при
g-s-oo стремится к 1 по закону /= 1 -1/2?2.
Параметр г0 определяет порядок величины радиуса "сердцевины" вихря. Введя
вместо U0 длину рассеяния, согласно t/0 = 4n&2a/m (6,2), найдем, что
г0 ~ п-1/3т]~1/2 ^>п~1/3,
где г] = ап1/3-газовый параметр. Этот радиус, таким образом,
действительно велик по сравнению с межатомными расстояниями, если газовый
параметр достаточно мал.
Задача
Найти спектр элементарных возбуждений в почти идеальном бозе-газе,
рассматривая его как закон дисперсии малых колебаний конденсатной
волновой функции.
Решение. Рассматриваем малые колебания S вокруг постоянного среднего
значения Yn:
Е = Уп + Лг*(кг-Ш<) + в*е-"'<кг-"0,
§ 31]
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ
147
где А, В*-малые комплексные амплитуды. Подставив это выражение в
уравнений (30,2), линеаризовав его и отделив члены с различными
экспоненциальными множителями, получим систему двух уравнений
%(?>А - 1^ A -J-nilо (А + В),
-1i(oB = ^-B + nU0(A + B) ztn
(p = %k). Отсюда, приравняв нулю определитель системы, найдем
что совпадает с (25,10).
§ 31. Гриновские функции бозе-жидкости1)
Математический аппарат функций Грина бозе-жидкости строится во многом
подобно аналогичному аппарату для ферми-систем. Не повторяя заново всех
рассуждений, мы приведем здесь сначала основные определения и формулы,
подчеркнув при этом отличия, связанные как с другой статистикой частиц,
так и с наличием конденсата 2). Как и в предыдущих параграфах этой главы,
частицы жидкости предполагаются бесспино-выми.
При определении гриновской функции бозе-жидкости следует выделить из
гейзенберговских г^-операторов конденсатную часть, представив их в виде
(26,4). Функция Грина определяется по надконденсатной части операторов
согласно
G(Xi, Х,) = -1<ТЧГ (XJ4T+ (Xt)>, (31,1)
где снова скобки <...> означают усреднение по основному состоянию
системы, а Т - знак хронологического произведения. При этом, однако, в
отличие от случая фермионов, перестановка ¦ф-операторов для приведения их
в нужное расположение не должна сопровождаться изменением знака
произведения, так что (в отличие от (7,10))
1Г.1У У . I *'*<*¦"¦ '¦ > ,,, "
Такое же среднее значение, как (31,1), но с полными ^-операторами вместо
надконденсатных дало бы
-1 <TV (Xi) (Х%)> = - m" + G(XU Xt), (31,3)
*) В §§ 31-33, 35 используется система единиц, в которой %=\.
2) Применение математической техники гриновских функций к бозе-системам с
конденсатом принадлежит С. Т, Беляеву (1958).
148 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ [гЛ. lit
где п0 - плотность числа частиц в конденсате1). В однородной жидкости
функция G зависит, конечно, только от разности Х = Х1 -X,.
Надконденсатная матрица плотности р' выражается через функцию Грина
согласно
Np'(ru rg) = iG(t1,r1; t1 + 0,rg) = iG(t = -0, г) (31,4)
(обратим внимание на другой общий знак по сравнению с (7,19)). В
частности, при = г2 отсюда получается полная плотность числа
надконденсатных частиц
у-ne = iG(t = -0, г = 0) (31,5)
(ср. (7,19)).
Переход к импульсному представлению происходит по тем
