Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
в определение гамильтониана Н' = Н - цМ включен член - fiJV. Тем самым из
разности собственных значений энергии систем с различными числами частиц
исключен член
Е (N + 2)-Е (N) w 2дЕ/дМ = 2ц,
а из матричных элементов оператора Фа соответственно исключен множитель
exp [-i(i (/х+ ;s)].
§ 31] ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ 151
неподвижной жидкости1):
Ф+(*. г) = # (-*, -г). (31,17)
Полагая, скажем, tlt имеем поэтому iF+ (Xlf Х2) = < N + 21 + (Хг) (X,)
| ЛГ > =
= <ЛГ |Ф,+ (^) Ф,+ (Х2)|Д^ + 2> =
= <N\4' (-XJ f' (-Х,) | N + 2 > = iF (-Хи-Хг),
или F+(X) = F{- X). С учетом (31,15) отсюда следует искомое
равенство
F+(X)=F(X). (31,18)
Выразив функцию F (X) через матричные элементы ^-операторов, можно
получить для F (со, р) разложение, аналогичное разложению (31,8), и тем
самым выяснить вопрос о полюсах этой функции; мы не будем останавливаться
здесь на этом. Укажем лишь, что полюсы функции F (со, р) совпадают с
полюсами функции G (он, р).
В заключение этого параграфа вычислим функцию Грина идеального бозе-газа
G(0). Заметим прежде всего, что поскольку в основном состоянии такого
газа все частицы находятся в конденсате, то надконденсатный оператор
уничтожения частиц Ф' при воздействии на волновую функцию основного
состояния обращает ее в нуль. Поэтому функция GW)(t, г)
отлична от нуля
х) В нем можно убедиться следующим образом. Все отличные от нуля
матричные элементы операторов ар, а? могут быть определены как
вещественные величины (см. III (64,7 - 8)); в этом смысле операторы
вещественны, т. е. а р =ар = ар. Поэтому шредингеровский т|>оператор
iHr)=v-l/22Vpr
р
обладает свойством ij)+ (г) = "ф (- г). Отсюда, в свою очередь, следует
равенство (31,17) для гейзенберговского оператора
Ф (/, г) = ехр (iHt)ty (г) exp (-iHt), в чем легко убедиться, заметив,
что (для системы без спиновых взаимодействий) гамильтониан Н веществен
(так что #+=#)> а в силу изотропии системы Н (-г) = Я (г). Подчеркнем,
однако, что вещественность гамильтониана подразумевает отсутствие в
жидкости макроскопического сверхтекучего движения. Для бозе-системы с
конденсатом гамильтониан зависит от макроскопического параметра-
конденсатной волновой функции Е. 3 движущейся жидкости этот параметр
комплексен, а с ним комплексен (но, разумеется, эрмитов) и гамильтониан.
152
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[гл. III
только при t = t1-^2>0 (когда, согласно (31,2), первым действует оператор
рождения Y,+).
Хотя для идеального газа химический потенциал [х = 0, мы не будем
полагать здесь этого, рассматривая [х как не определенный заранее
свободный параметр; это необходимо для дальнейшего применения функции
G(0> в диаграммной технике для произвольной жидкости, где [х играет роль
именно такого параметра. Соответственно этому, оператор Yp(f, г) будем
писать
(отличающимся от (26,1) членом i\it в показателях экспонент). При
подставке этого выражения в определение G(0), согласно (31,2), замечаем,
что при усреднении (т. е. взятии диагонального матричного элемента) могут
дать отличный от нуля результат лишь произведения арар и арар\ но
поскольку в основном состоянии газа числа заполнения всех состояний
частиц с р=?0 равны нулю, то
Перейдя затем обычным образом от суммирования по р к интегрированию,
получим
Отсюда для функции Грина в импульсном представлении имеем
(в подынтегральное выражение вводится множитель е~и с Я > О, после чего
переходим к пределу X->-0). Окончательно
Что касается функции/1, то для идеального газа FW(X) = 0, как это
очевидно из определения (31,13), в котором оба оператора уничтожают
надконденсатные частицы. Поэтому и в им-
в виде
К. &p К. ctp Qp У - 1 •
G<01 (t, r) - \
( - i J exp [-
\ 0 при t < 0.
00
G<0) (to, p) = -i J exp ^ - it-\- int + iat^j dt.
о
Интегрирование осуществляется с помощью формулы
00
(31,21)
о
G(0)(co, р)= + /0
(31,22)
§ 32]
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ
153
пульсном представлении
Р"(Ю, Р) = 0. (31,23)
Этим равенством выражается тот факт, что надконденсатные
частицы появляются (при Т=0) только в результате взаимо-
действия.
Задача
Найти функцию Грина фононного поля, определяемую как
D(Xlt X2)^D(Xi-X2) =-"ЧТр'(Х1)р'(^2)>. (1)
где угловые скобки означают усреднение по основному состоянию поля; р' -
оператор плотности из (24,10), а хронологическое произведение
раскрывается по правилу (31,2).
Решение. При подстановке (24,10) в определение (1) замечаем, что
поскольку в основном состоянии все числа заполнения фононных состояний
равны нулю, то отличны от нуля лишь средние значения <скс^> = 1. Перейдя
затем от суммирования по к к интегрированию, получим
D(t, Г)= f Pi e'ftr=F"*>
d3k
з •
J 2iu (2jx)3
где знаки - и + в показателе относятся соответственно к <>0 и (<0 (в
интеграле для t < 0 произведено переобозначение переменной интегрирования
к-)-------к). Подынтегральное выражение (без множителя е1кг) есть уже
компонента фурье-разложения функции D(t, г) по координатам. Разлагая так
же и по времени, получим гриновскую функцию в импульсном представлении
