Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
аргумент 6-функции в приближенном виде -uq (1 - cos 0) и произведя
интегрирование по d3q, получим
2 А*(р-рс)3
w=------ , j
ЗпрМ
§ 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания
В этом параграфе мы рассмотрим свойства спектра бозе-жидкости вблизи
порогов распада элементарных возбуждений на две квазичастицы, из которых
ни одна не является фононом (случаи а) и б) из § 34)1). В
противоположность распадам с рождением фонона, к этим случаям теория
возмущения неприменима, и их исследование требует выяснения характера
особенностей, которые имеют в пороговых точках гриновские функции
жидкости. С другой стороны, тот факт, что нас будут интересовать только
эти особенности, позволяет существенно схематизировать и тем самым
упростить вычисления. В частности, можно не делать различия между
функциями G и F (поскольку их аналитические свойства одинаковы) и
поступать так, как если бы существовал только один тип гриновсжих
функций; учет различия между G и F привел бы лишь к появлению в
уравнениях нескольких аналогичных (по своим аналитическим свойствам)
членов, что не отразилось бы на результатах.
Тот факт, что интересующая нас особенность гриновской функции связана с
распадом квазичастицы на две другие, в терминах диаграммной техники
означает, что она происходит от диаграмм вида
а
Т-СО"? (35,1)
P-g
которые могут быть рассечены по двум сплошным линиям, т. е. которые
содержат в себе двухчастичные промежуточные состоя-
J) Содержание этого параграфа принадлежит Л. П. Питаевскому (1959).
§ 35] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ЕГО ОКОНЧАНИЯ
167
ния. В этих диаграммах по промежуточному 4-импульсу Q = (^0> Ч)
производится интегрирование, причем определяющую (в смысле возникновения
особенности) роль играет область значений Q и Р - Q, с которыми распадные
квазичастицы (продукты распада) рождаются вблизи порога. Основным для
излагаемой ниже' теории является утверждение, что эта область значений 4-
импульса не является особой для функции Грина G (Q): в ней она имеет
обычный полюсной вид
G(Q) = G(<70, q)c\>[q0 - e{q) + iO]-\ (35,2)
где функция e(q)-энергия распадных квазичастиц - не имеет особенностей.
Физическая выделенность этой области состоит лишь в том, что в ней
квазичастица могла бы "слипнуться" с другой квазичастицей; но этот
процесс невозможен при нуле температуры ввиду отсутствия реальных
возбуждений. Особой областью для функции Грина являются лишь значения Р
(внешние линии диаграмм (35,1)) вблизи порога распада исходной
квазичастицы.
Двум соединительным линиям на диаграмме (35,1) отвечают множители
G{Q)G(P-Q), а по Q производится интегрирование. При этом, ввиду
существенности лишь малой области значений Q, остальные множители в
диаграмме можно считать при интегрировании постоянными, равными их
значению при пороговом значении Q = QC1). Таким образом, в диаграмме
возникает множитель, выражающийся интегралом
П (р\ -___I__С_______________________------------
' (2л)4 J [q0 - e(q) + iO] [со - q0 - е(|р - q|) +
tO] ¦'
где Я = (<й, р). Интегрирование по dq0 выполняется путем замыкания пути
интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в одной из
полуплоскостей комплексного q0 и дает
П(/3)=='(2^ J(o-8(<7)-8(|p-q|)-H0- (35)3)
К исследованию этого интеграла мы вернемся ниже, а теперь надо выразить
через него искомую точную функцию G(P), просуммировав для этого все
диаграммы вида (35,1).
!) Это утверждение следует уточнить. Дело в том, что множители G (Q) G (Р
- Q) не зависят от угла <р, определяющего положение плоскости (р, q).
Поэтому интегрирование по d<р сводится к усреднению остальной части
подынтегрального выражения по <р, после чего d4Q можно понимать как 2nq2
dq0dq d cos&. Именно в таком интегрировании по d4Q существенна малая
область. Это замечание относится и к другим аналогичным моментам
вычислений ниже.
168
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
Для функции G (Р) можно написать диаграммное уравнение Дайсона
а
я "- + (35,4)
Р-ц
Здесь жирные линии изображают точную функцию iG, а светлые- "неособую"
часть этой функции, определяемую совокупностью диаграмм, "неделимых по
двум линиям". Второй же член в правой части (35,4) изображает
совокупность диаграмм вида (35,1). При этом светлый кружок представляет
точную "трехконцевую" вершинную функцию (обозначим ее Г(Q, Р-Q,Р)), а
заштрихованный-ее неособую часть, из которой исключены диаграммы, могущие
быть рассечены по двум сплошным линиямг). Как было объяснено выше,
интегрирование по d4Q приводит к появлению множителя П (Р), причем
остальные множители в диаграмме заменяются их значением при Q = Qc. Таким
образом, равенство (35,4) означает, что
G(P) = a (Р) + b(P)G (Р) Г, (Р) П (Р), (35,5)
где r<.(P) = r(Qc, Р - Qc, Р), а а(Р), Ь(Р) - некоторые регулярные
(вблизи порога Р = РС) функции.
В (35,5) фигурируют две особые функции - G и Гс, и для выражения их через
П необходимо поэтому еще одно уравнение. Мы получим его, заметив, что
точная вершинная функция Г представляется рядом "лестничного" вида
