Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
разложение начинается с члена ~ р2 и ввиду изотропии жидкости происходит
по степеням р2. Разложение же самой функции е (р) содержит,
следовательно, нечетные степени р.
2) Какие именно из перечисленных случаев могут фактически
осуществляться- зависит от конкретного хода кривой спектра квазичастиц
е(р). Эмпирические данные для жидкого гелия (Не4) свидетельствуют о
наличии
(при давлениях < 15 атм) небольшого начального участка фононного спектра,
в котором имеется неустойчивость типа случая г). Окончание же спектра в
жидком гелии имеет место в точке типа случая а).
164 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ [ГЛ. III
матричный элемент оператора возмущения равен
м в / \ 3! (2я&)3 (и \ 1/2 /, . ра d и2) . _ч
y/t. = 6(p-qi-q2)-^i^(?p9l92j (34,7)
(индекс 0 у невозмущенной плотности р" опускаем). Обратим внимание на
наличие множителя (Р9х9а)1/2; его малость (речь идет о распаде
длинноволнового фонона) и обеспечивает применимость теории возмущений 1).
Дифференциальная вероятность распада (в 1 сек) дается формулой
(см. III (43,1)). При подстановке сюда (34,7) возникает квадрат б-
функции; его надо понимать как2)
[б (р -qi - q2)p = _J1_ б (р-qj-q3). (34,8)
Остающаяся б-функция устраняется интегрированием по d3q2; положив также
Ei = up, EJ = u(qi-\-q2), получим
10 - - J I -L _L --- I пп (п п \ Л Ir, п Jh л |\ rf3<?i
If,, р2 d и2) а 9я (* . . ..
+ -щ)ряг(р-дг)нр-дг-\р-4г\)
(2 nt)3
(при независимом интегрировании по d3q1 и d3q2 ответ должен быть поделен
на 2 для учета тождественности двух фононов). Наконец, выразив аргумент
б-функции в виде (34,5) и произведя интегрирование по d3q1 - 2nqidq1dcosQ
(по области qi^p), найдем полную вероятность распада
3 Рь
w =-----------г
320яр%
• (34,9)
Коэффициент затухания фонона ys=- lme - fiw/2. В частности, для почти
идеального газа, согласно (25,11), величина
При вычислении матричного элемента (34,7) следует учесть, что каждый из
фононных операторов ср и с* может браться из любого из трех множителей р'
или v; отсюда множитель 3!. Дельта-функция в (34,7) возникает от
интегрирования множителя exp[[(p - q1-q2)r/^]. Наконец, учтено, что
направления р, q* и q2 почти совпадают.
2) Действительно, 6-функция 6 (к) возникает от интеграла ^ е1кт
d3k/(2n)3.
Если же вычислить другой такой же интеграл при к = 0 (в силу наличия уже
одной fl-функции), причем распространить интегрирование по конечному
объему V, то получится V/(2n)3; это и выражено формулой (34,8),
§ 34]
РАСПАД КВАЗИЧАСТИЦ
165
ц2/р " infoa/m? не зависит от плотности. В этом случае
'-"й* (34'10>
(С. Т. Беляев, 1958).
Для процесса испускания фонона квазичастицей вблизи порога типа в) вид
оператора возмущения устанавливается путем рассмотрения изменения энергии
квазичастицы в звуковой волне. Это изменение складывается из двух частей:
Se(p)=^p' + vp.
Первый член связан с изменением плотности жидкости, от которой энергия
квазичастицы зависит как от параметра. Второй член (в котором v-скорость
жидкости в звуковой волне) есть изменение энергии квазичастицы благодаря
макроскопическому движению жидкости; поскольку длина волны испускаемого
(вблизи порога) фонона велика по сравнению с длиной волны квазичастицы,
можно считать, что последняя находится в однородном потоке жидкости, и
тогда изменение ее энергии опре-деляется, как было объяснено в начале §
23. Оператор возмущения получается из бе заменой v=V<p и р' вторично-
квантованными операторами (24,10), а р - оператором импульса квази-
частицы р == - ifiV:
^-^P'+T^P + Pv) (34,11)
(во втором члене произведена симметризация произведения для приведения
его к эрмитову виду). Вычисление вероятности испускания фонона
производится далее аналогично тому, как это было сделано выше для распада
фонона (см. задачу).
Задача
Определить вероятность испускания фонона квазичастицей с импульсом р,
близким к пороговому значению рс, при котором скорость квазичастицы
достигает скорости звука.
Решение. Матричный элемент оператора (34,11) берется для рождения одного
фонона (с импульсом q) с одновременным переходом квазичастицы между
состояниями (плоскими волнами) с импульсами р и р'. Вблизи порога импульс
фонона q <^.рс> а направление q почти совпадаете направлением р *).
*) Для определенности рассматриваем случай, когда фонон испускается
именно в таком (а не в обратном) направлении. Для этого функция е (р)
вблизи порога должна иметь вид
е(р) и е(рс) + (р -ре) и + а(р-рс)*
(с положительным знаком в линейном члене). Из закона сохранения энергии
легко убедиться, что испускание фонона возможно при этом, если а > 0, и
происходит при р > рс\ импульс испускаемого фонона пробегает значения в
Интервале 0 ^ q < 2 (р-pf).
166
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III •
С учетом этого находим
Vfi = -i (2я&)8 6 (р-qt-
где
р дг
^2р
А - рс-\-
и др
р=р"
Отсюда дифференциальная вероятность испускания фонона
= Л36 [е (р) - е (| р-q |) - uq]
d3q
Пр 1 U F 4'' (2nkf
(6-функция импульсов уже устранена интегрированием по d3p'). Написав
