Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
/со о \
2>(ш, k)=|MjV d(+ J ? (<B+Uft)< dt [ ,
lo -00 J
Интегрирование осуществляется с помощью формулы (31,21):
pk2
CD2 -li2?2 + i0
§ 32. Диаграммная техника для бозе-жидкости
Дальнейшее построение диаграммной техники для вычисления функций Грина
бозе-системы производится подобно тому, как это было сделано в §§ 12-13
для ферми-систем. Как и там, сформулируем правила этой техники для систем
с парным взаимодействием между частицами, описывающимся оператором
V (0 = 1 f (t, ri) W* (t, г,) U (r*-ra) Y (t, ra) V (t, rj d°Xi d*x2.
(32,1)
154
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
Специфика бозе-жидкостей с конденсатом состоит прежде всего в том, что
все гейзенберговские ^-операторы должны быть представлены в виде ? = ?' +
3, где Ф'- его надконденсатная часть, a S - конденсатная волновая
функция, представляющая собой (для неподвижной жидкости) просто
вещественное число Ки,,1). После такой подстановки оператор (32,1)
распадается на ряд членов, содержащих от четырех до нуля операторов Чг
(вместе с соответствующим дополнительным числом множителей Vn0).
Все сказанное в § 12 о переходе к представлению взаимодействия остается
полностью в силе, а дальнейшее раскрытие получающихся выражений
осуществляется с помощью теоремы Вика (с тем лишь отличием, что
перестановка ^-операторов в усредняемом произведении не требует теперь
изменения знака). Разнообразие членов, на которые распадается оператор
(32,1), приводит, однако, к появлению новых элементов в фейнманов-ских
диаграммах. Опишем эти элементы сразу в окончательном, импульсном
представлении.
В каждой вершине диаграммы по-прежнему сходятся три линии: пунктирная
линия (которой сопоставляется множитель
- iU (Q) с 4-импульсом Q = (q0, q)) и две линии частиц-одна входящая
и одна выходящая. Но при этом надо различать конденсатные и
надконденсатные частицы. Сплошные линии будут отвечать теперь
надконденсатным частицам, и такой линии (с 4-импульсом Р = (со, р)) по-
прежнему отвечает множитель iG{0) (Р). Линии же конденсатных частиц будем
изображать волнистыми; этим линиям приписывается 4-импульс Р = 0, и им
сопоставляется множитель Уп02). Таким образом, возникают вершины четырех
видов:
V V V
: ! : <32-2> а) 5) В) г)
(вершины с одной или двумя волнистыми линиями называют неполными). В
каждой вершине должен выполняться "закон
1) Подчеркнем, что поскольку эта величина возникает от разделения на
части точного (гейзенберговского) ^-оператора, то п0 - точное значение
плотности конденсата в жидкости (при Т = 0).
2) Точнее, входящей в вершину волнистой линии должен сопоставляться
множитель S, а выходящей-множитель S*; ввиду вещественности Е эти
множители фактически одинаковы.
§ 32] ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ 155
сохранения 4-импульса"; поэтому в вершинах бив 4-импульс пунктира
совпадает с 4-импульсом сплошной линии, а в вершине г он равен нулю).
Волнистые линии всегда являются внешними линиями диаграммы, т. е.
присоединены к ней лишь одним из своих концов, второй же конец остается
свободным.
Каждая диаграмма, входящая в определение функции Грина G (Р), имеет две
сплошные внешние линии с 4-импульсами Р (входящую и выходящую), а сверх
того может иметь некоторое (четное) число волнистых внешних линий; полные
числа входящих и выходящих внешних концов во всякой диаграмее одинаковы
(чем выражается сохранение полного числа частиц в системе-конденсатных
вместе с надконденсатными). Как и для ферми-системы (и по той же причине-
см. § 13), допустимы только диаграммы, не распадающиеся на две (или
более) не связанные друг с другом части. В отличие от случая ферми-
систем, меняется, однако, правило, определяющее общий знак, с которым
диаграммы входят в iG: все диаграммы входят с одинаковыми знаками (т. е.
устраняется указанное на стр. 70 правило 3).
Каждая из пунктирных линий в диаграмме имеет на своих двух концах полную
или неполную вершину. Это не могут, однако, быть две вершины типа
(32,2г): не имея ни одного сплошного конца, такая фигура вообще не может
быть присоединена к диаграмме функции Грина. Это не могут быть также
вершины типов (32,2г) и (32,2в) (или (32,2г) и (32,26)): при наличии трех
волнистых концов сохранение 4-импульса в вершинах привело бы в такой
фигуре к обращению в нуль также и 4-импульса четвертого конца, т. е. мы
пришли бы к фигуре со всеми четырьмя конденсатными (волнистыми) концами.
Значительное число диаграмм в каждом порядке теории возмущений,
построенных по описанным правилам, однако, тождественно обращается в
нуль. Причиной этого исчезновения является отсутствие надконденсатных
частиц в основном состоянии идеального бозе-газа. Это в особенности ясно
видно, если проследить за происхождением диаграмм в координатном
представлении: равны нулю все свертки вида <1?,+?'>, в которых оператор
уничтожения надконденсатных частиц стоит справа и действует на основное
состояние первым; остаются только свертки вида <?'?'+>1).
Так обращаются в нуль диаграммы с "замкнутой на себя" сплошной линией:
