Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
жидкости, т. е. как (7\-ту~а (где а-критический индекс теплоемкости Ср).
Таким образом, находим, что __
р^!~р, (7\-7')2V(*>(7\-ту-*,
откуда pscv>(7\-Т) 2-"-2v. Наконец, учтя соотношение 3v = 2 - а
(следующее из гипотезы масштабной инвариантности-см. V§ 149), получим
окончательно
р5^(П-Л(3"а)/3- (28,3)
Этим устанавливается связь между температурными зависимостями р5 и
теплоемкости вблизи ?1-точки (В. D. Josephson, 1966)!).
§ 29. Квантованные вихревые нити
Обычная жидкость, заключенная в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг
своей оси, увлекается трением о стенки сосуда и в конце концов приводится
во вращение как целое вместе с сосудом. В сверхтекучей жидкости
увлекается во вращение только ее нормальная компонента; сверхтекучая же
компонента остается неподвижной - в соответствии с тем, что эта
компонента вообще не может вращаться как целое, так как при этом
нарушалась бы потенциальность сверхтекучего движения 2).
Однако при достаточно больших скоростях вращения такое состояние
становится термодинамически невыгодным. Условие термодинамического
равновесия состоит в минимальности величины
EBV = E-m, (29,1)
представляющей собой энергию по отношению к- вращающейся системе
координат; Е и М-энергия и момент импульса системы относительно
неподвижной системы координат (см. V § 26). Член -МЯ в этом выражении и
приводит (при достаточно больших Я) к термодинамической выгодности
состояния с МЯ>0 по сравнению с состоянием с М = 0.
*) Индексы а и ? для жидкого гелия фактически очень малы; поэтому с
хорошей точностью Р"1/3, так что ps~ п0~(Тх- Т)2^3.
2) При вращении жидкости как целого скорость v=[Qr], где Q - угло-
вая скорость, а радиус-вектор г отсчитывается от какой-либо точки на оси.
При этом rot v = 2Q Ф 0.
§ 29]
КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ
139
Таким образом, при увеличении скорости вращения сосуда должно в конце
концов возникнуть сверхтекучее движение. Кажущееся противоречие между
этим утверждением и условием потенциальности сверхтекучего движения
устраняется предположением, что потенциальность нарушается только на
некоторых особых линиях в жидкости-вихревых нитях1). Вокруг этих линий
жидкость совершает движение, которое можно назвать потенциальным
вращением, так что во всем объеме вне линий rotVj = 0.
Вихревые нити в жидкости имеют толщину, измеряемую атомными размерами, и
с макроскопической точки зрения должны рассматриваться как бесконечно
тонкие2). Их существование не противоречит выражению скорости в виде
(26,12), так как это выражение предполагает достаточную медленность
изменения vs в пространстве, между тем как вблизи вихревой линии vs
меняется сколь угодно быстро (см. ниже формулу (29,3)). Она не
противоречит также и изложенному в § 23 обоснованию потенциальности
сверхтекучего движения свойствами энергетического спектра бозе-жидкости,
так как с вихревой нитью связана определенная макроскопически большая
энергия (см. ниже (29,8)), и состояние жидкости с нитью не может
считаться слабо возбужденным.
Рассмотрим сначала вихревые нити с чисто кинематической точки зрения -
как особые линии в распределении скорости при потенциальном движении
жидкости. Каждая вихревая нить характеризуется определенным значением
(обозначим его 2як) циркуляции скорости по замкнутому контуру,
охватывающему эту нить:
Это значение не зависит от выбора контура интегрирования. Действительно,
если С\ и С2-два контура, охватывающих вихревую нить, то разность
циркуляций скорости вдоль них, согласно теореме Стокса, равна потоку
вектора rotvs через поверхность, натянутую между Сг и С2; но поскольку
эта поверхность нигде не пересекает вихревую нить, то во всех ее точках
rotvs = 0, так что интеграл обращается в нуль. Отсюда же следует, что
вихревая нить не может прерываться: она либо замкнута, либо оканчивается
на границах жидкости (а в неограниченной жидкости - уходит обоими своими
концами на
*) Это предположение было высказано Онсагером (L. Onsager, 1949) и затем
развито Фейнманом (R. P. Feynman, 1955).
2) Это утверждение не относится, однако, к близкой окрестности Х-
точки; здесь толщина вихревой нити порядка величины корреляционного
радиуса флуктуаций.
(29,2)
140
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[гл. III
бесконечность). Действительно, наличие у вихревой нити свободного конца
означало бы возможность натянуть на контур С поверхность, нигде не
пересекающую нить, в результате чего интеграл в левой стороне (29,2)
обратился бы в нуль.
Условие (29,2) позволяет определить распределение скоростей в жидкости,
движущейся вокруг вихревой нити. В простейшем случае прямолинейной нити в
неограниченной жидкости линии тока являются окружностями, плоскости
которых перпендикулярны нити, а центры лежат на ней. Циркуляция скорости
вдоль такой линии равна 2mvs, так что
где г - расстояние до нити. Отметим, что при потенциальном вращении
скорость падает с удалением от оси вращения (вихревой нити) - в
противоположность вращению как целого, где скорость возрастает
