Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
учетом (24,8) получим требуемую б-функцию:
- iky 2 (ckCk - CkCk) eik <г-г'> =
i% ? e'k (r-° - f f e'k (Г"° Ш = ~ihd (f-r')'
V J , (2n)
Легко убедиться также, что гамильтониан жидкости, получающийся
подстановкой у=^Ф и р' вместо v и р' в интеграл
(24,3), имеет, как и следовало, вид
Н = +
его собственные значения равны 2u%k (/гк +1 /2) в соответствии с
представлением о фононах с энергиями & = ufik.
Выражение (24,3) для энергии жидкости в звуковой волне представляет собой
первые (после нулевого) члены разложения точного выражения
Е =1 [? + ре <р)
d3x
(где е(р) - внутренняя энергия единицы массы жидкости). Роль точного
гамильтониана жидкости играет этот интеграл, в котором v и р заменены
операторами v = Уф и р==р0 + р' с <р и р' из
(24,10):
§ 25]
ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
123
(оператор кинетической энергии написан в симметризованном виде vpv/2,
чтобы быть эрмитовым). При этом существенно, что именно р и ф являются
канонически сопряженными "обобщенными координатами и импульсами", через
которые должен быть выражен гамильтониан. Это видно из того, что правило
коммутации (24,7), которому удовлетворяют операторы (24,10), является
точным - в его выводе малость колебаний нигде не использовалась.
Члены более высоких (третьей и т. д.) степеней в разложении этого
гамильтониана выражают собой ангармоничность звуковых колебаний, а в
терминах фононной картины - описывают взаимодействие фононов. Эти члены
имеют матричные элементы для переходов с одновременным изменением
нескольких чисел заполнения фононов и тем самым играют роль возмущения,
вызывающего различные процессы рассеяния и распада фононов. При этом
матричные элементы самих операторов ct и с? имеют, разумеется, прежний
вид (24,9), поскольку (как это всегда делается в теории возмущений)
используется представление, в котором диагонален невозмущенный
гамильтониан. Приведем здесь выражения членов третьего и четвертого
порядков
vp'v ( d и^\ р'3 dp0 Ро / 6
d*x, (24,12)
*4
(24ЛЗ)
§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ
Основные свойства энергетического спектра бозевского типа ясно видны на
модели слабо неидеального бозе-газа при близких к нулю температурах. Эта
модель будет рассмотрена в этом параграфе аналогично тому, как это было
сделано в § 6 для ферми-газа *). Все сказанное в § 6 в связи с общей
характеристикой моделей вырожденного почти идеального газа относится и к
настоящему случаю. В частности, условие слабой неидеаль-ности (газовый
параметр a(N/V)1/3 1; а-длина рассеяния)
может быть по-прежнему сформулировано в виде условия (6,1) малости
импульсов частиц: ра!% <^ 1 2).
х) Излагаемый ниже метод принадлежит Я. Н. Боголюбову (1947). Применение
им этого метода к бозе-газу явилось первым примером последовательного
микроскопического вывода энергетического спектра "квантовых жидкостей".
а) Мы увидим ниже, что в вырожденном бозе-газе основная масса частиц (вне
"конденсата") обладает импульсами p~h}^aN/V, для которых указанное
неравенство действительно справедливо.
124 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ (гл. III
Гамильтониан системы парно взаимодействующих бозонов (которые мы будем
предполагать бесспиновыми) имеет вид, отличающийся от (6,6) лишь
отсутствием спиновых индексов:
& = X -Ш "+р"р + J 2 <Р^ I U I PiP*> (25>1)
(суммирование по всем импульсам, фигурирующим в индексах). Операторы же
уничтожения и рождения частиц удовлетворяют теперь правилам коммутации
арар - арар = 1.
Как и в § 6, снова заменяем, в соответствии с предположением о малости
импульсов, все матричные элементы в (25,1) их значением при нулевых
импульсах; тогда
^=2-Й'^^р+ж2^^"р.2р1* <25'2)
Исходным пунктом применения теории возмущений к этому гамильтониану
является следующее замечание. В основном состоянии идеального бозе-газа
все частицы находятся в конденсате-состоянии нулевой энергии; числа
заполнения Np=" = ^N0 = N, Np = 0 при рФО (см. V § 62). В почти идеальном
же газе в основном и в слабо возбужденных состояниях числа jVp отличны от
нуля, но очень малы по сравнению с макроскопически большим числом AV Тот
факт, что величина а%а0 = N0 " N весьма велика по сравнению с единицей,
означает, что выражение
а0а+-а?а0~ 1
мало по сравнению с самими а0, at, и потому можно рассматривать
последние как обычные (равные |/ jV0) числа, пренебрегая
их некоммутативностью.
Применение теории возмущений означает теперь формально разложение
четверной суммы в (25,2) по степеням малых величин ар, ар (р 0). Нулевой
член разложения равен
а?а$а0а0 = а\. (25,3)
Члены первого порядка отсутствуют (ввиду невозможности соблюдения в них
закона сохранения импульса). Члены второго порядка
а\ 2 (apa-p + apaip + 4fl?ap). (25,4)
p^tO
Ограничиваясь точностью до величин второго порядка, можно заменить в
(25,4) <2о = на полное число частиц N. В члене же
§ 25] ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ 125
(25,3) следует учесть более точное соотношение
а2о+ 2 at ар =N.
рфО
В результате сумма членов (25,3-4) становится равной N2 + N 2 (apa-p +
