Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
136
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[гл. III
Наконец, сделаем некоторые замечания о методически интересном вопросе о
двумерной бозе-жидкости. В этом случае зависящая от температуры часть
интеграла (27,9) логарифмически расходится в области малых р, где формула
для N (р) должна была бы быть верна. Это означает, что в двумерном случае
неверно основное предположение о существовании конденсата при отличных от
нуля температурах; конденсат в этом случае может существовать лишь при Т
- О1). Положение здесь аналогично ситуации с двумерными кристаллами (см.
V § 137). Подобно тому как в последних флуктуации смещения атомов
размывают решетку, так флуктуации фазы уничтожают конденсат. Формальная
аналогия между двумя системами состоит в том, что в обоих случаях энергия
зависит от величин, которые могут входить в нее лишь под знаком
производных. В первом случае это - векторы смещения атомов, которые не
могут сами войти в энергию ввиду инвариантности последней по отношению к
смещениям системы как целого. Во втором случае это-фаза кон-денсатной
волновой функции, которая не мйжет сама войти в энергию ввиду своей
неоднозначности. Тот факт, что энергия зависит лишь от градиентов этих
величин и приводит в конечном счете к расходимости флуктуаций.
Далее, мы видели в V § 138, что слабая (логарифмическая) расходимость
флуктуаций приводит в двумерном кристалле к медленному (степенному)
убыванию корреляционной функции в системе. Аналогично, в двумерной бозе-
системе матрица плотности (27,3) убывает при |rj-г2|->-оо, а не стремится
к постоянному пределу как при наличии конденсата, но лишь по степенному
закону2). Заметим, что тем самым такая система качественно отличается от
обычной жидкости, так что и в двумерном случае возможен фазовый переход
второго рода между обычной жидкостью с экспоненциальным убыванием р (rls
г2) и жидкостью со степенным законом убывания.
§ 28. Поведение сверхтекучей плотности вблизи Х-точки
Как уже упоминалось в § 23, с повышением температуры доля сверхтекучей
плотности р4/р бозе-жидкости убывает, обращаясь в нуль в точке фазового
перехода второго рода-так называемой Я-точки жидкости. Температура 7\
этой точки является функцией давления Р; уравнение Т = Тх(Р) определяет
линию Я-точек на фазовой диаграмме в плоскости Р, Т.
В общей теории фазовых переходов второго рода изменение состояния тела
описывается поведением параметра порядка,
J) Эти утверждения относятся и к двумерному идеальному бозе-газу.
2) Подробнее см. J. W. Капе, L. Kadanoff, Phys. Rev. 155, 80 (1967).
§ 28] ПОВЕДЕНИЕ СВЕРХТЕКУЧЕЙ плотности ВБЛИЗИ Х-точки 137
характеризующего его свойства симметрии. Для Х-перехода бозе-жидкости
роль такого параметра играет волновая функция конденсата S, описывающая,
как было объяснено в § 26, "дальний порядок" в жидкости. Комплексность S
означает, что параметр порядка имеет две компоненты, причем эффективный
гамильтониан системы (см. V § 147) зависит только от | S |2, т. е.
инвариантен относительно преобразования Е->-е?"Е с любым вещественным а.
Эмпирические данные о Х-переходе в жидком гелии свидетельствуют, п-о-
видимому, о том, что для него отсутствует область применимости теории
фазовых переходов Ландау: критерий V (146,15) не выполняется нигде в
окрестности Я-точки (т. е. нигде в области \Т-Т% |<^7\). Поэтому для
описания свойств этого перехода надо пользоваться флуктуационной теорией
фазовых переходов второго рода, дающей возможность связать друг с другом
температурные зависимости различных величин.
Температурная зависимость параметра порядка (г тем самым и плотности
конденсата п0) при Т -дается лрипческим индексом р (см. V § 148):
Более интересен, однако, вопрос о поведении сверхтекучей плотности р4.
Для его вычисления рассмотрим жидкость, в которой фаза Ф конденсатной
волновой функции медленно меняется в пространстве. Это значит, что в
жидкости имеет место макроскопическое сверхтекучее движение со скоростью
(26,12) н соответственно с кинетической энергией (на единицу объема
жидкости)
Это выражение можно применить и к длинноволновым флуктуациям параметра
порядка. Согласно гипотезе масштабной инвариантности, единственным
параметром длины, определяющим флуктуационную картину в окрестности точки
перехода, является корреляционный радиус флуктуаций гс. Им же
определяется, следовательно, порядок величины расстояний, на которых
флуктуационное изменение фазы Ф порядка единицы; поэтому среднее значение
квадрата флуктуационной скорости меняется с температурой по закону
|Е| = *Ч~(7\_7У.
(28,1)
(28,2)
viosrlco(TK-T)iV,
где V -критический индекс корреляционного радиуса. С другой стороны,
поскольку именно с длинноволновыми флуктуациями связана особенность
термодинамических величин в точке
138
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
перехода, естественно считать, что в окрестности этой точки
флуктуационная кинетическая энергия (28,2) меняется с температурой по
тому же закону, что и сингулярная часть термодинамического потенциала
