Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Введем графическое обозначение этих функций жирными одно- и двусторонними
стрелками
JCfP) LFfp) ^ lF+{p) _ ^33 6)
Р Р -Р Р -Р
Тогда сделанные утверждения запишутся в виде графических равенств,
составленных из скелетных диаграмм:
(33,7)
(ср. аналогичное уравнение (14,4)). В аналитическом виде эти
§ 33]
СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
159
равенства дают1)
G (Р) = [1 (Р) G (Р) +220 (Р) F (Р)] G<°> (Р), зз
f(P) = C'e>(-P)[Sll(-P)F(P) + SM(P)G(P)]. * '
Решив эти уравнения относительно G и F и подставив выражение (31,22) для
Gl0), получим искомые формулы
G(P)=i[co + ^-ti + Su(-P)]> F(P) = -^201{P), (33,9)
где
O = [S02(P)p-
- [2Х1(Р)-(r) -Ю + ^-ц.j j^Su (-P) + (c) + i'0-f (ij. (33,10)
Подчеркнем, что эти соотношения не зависят от внутренней структуры
собственно-энергетических функций, а потому не связаны и с предположением
о парности взаимодействий между частицами, так что они верны для любой
бозе-жидкости.
Энергия элементарных возбуждений в жидкости в зависимости от импульса р
определяется полюсами функций G и F по отношению к переменной со. При
малых р эти возбуждения являются фононами и их энергия стремится к нулю
вместе с р. Поэтому функция (33,10) должна обращаться в нуль при р = 0,
со = 0. Отсюда находим равенство
[^11 (0) М']2 = ^02 (0).
Как уравнение по отношению к ц, оно имеет два корня, из которых должен
быть выбран
ц = ?и(0)-202(0). (33,1 1)
Действительно, в длинноволновом пределе ^-оператор дается выражением
(27,2) и его надконденсатная часть Ф' = W-Vп0да да/|Лг0Ф, так что ,F'+ =
- W' и затем Р да - G; последнее равенство выполняется именно при выборе
(33,11), когда числители в (33,9) (в пределе Р-*-0) отличаются только
знаком. Равенство (33,11) и есть то второе соотношение (см. конец § 32),
которое вместе с соотношением (31,6) дает возможность выразить параметры
ц и п0 через плотность жидкости п.
Дальнейшее разложение выражения (33,10) в ряд по со и р определяет вид
функции Грина в области малых значений их аргументов. При этом надо
учесть, что скалярные функции 2и
х) Аналогичную систему уравнений можно было бы написать для G и F+,
причем она отличалась бы от (33,8) лишь заменой 20г и 220 друг на друга.
Поскольку F=F+, то отсюда следует равенство (33,2).
160
.СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
и 2оа разлагаются по степеням р2, а разложение четной по всем своим
аргументам функции 202 содержит лишь четные степени также и переменной
со. Представив (33,10) в виде
D = {со +10 + -у [2u (Р) -2U (- Р)]}2-
- {ё;- ^+т [ъ"(Р)+Хп(-Р)]}2+22"3 (р) ,
сразу заключаем, что первые неисчезающие члены разложения имеют вид D =
const (со2-u*p2 + iQ), где и - постоянная, представляющая собой,
очевидно, скорость звука в жидкости. Заметив также, что в силу (33,11)
числители в (33,9) при со, р-+0 отличаются только знаком, найдем, что
Р _ р________const
со2 - u2p2 + i0
Значение постоянной в числителе можно определить, вычислив по этой
гриновской функции импульсное распределение частиц N (р) (при малых р) и
сравнив его с известным уже-нам распределением (27,7). Интеграл
N
ас
(p) = Mimo j G(w, Р)е~ш~
(ср. (7,23)) вычисляется путем замыкания пути интегрирования бесконечно
удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости (ср. замечание в конце
§ 7) и соответственно определяется вычетом в полюсе со = - up -f- /0. В
результате получим N (р) = const/2up и сравнение с (27,7) дает const =
м0т"3/". Таким образом, окончательно находим следующее выражение функций
Грина при малых со и р:
C = _F= /о""* (3312)
и (со2 - u2p2-\-i0) 4 ' '
Отметим, что эта функция совпадает (с точностью до нормировочного
коэффициента) с функцией Грина фононного поля (см. задачу в § 31) -
вполне естественный результат, поскольку в области малых со, р все
элементарные возбуждения в бозе-жид-кости являются фононами.
. Наконец, проиллюстрируем полученные формулы в применении к
рассмотренной в § 25 модели почти идеального бозе-газа с парным
взаимодействием между частицами. В первом приближении теории возмущений
2lt и 202 определяются первыми двумя диаграммами (33,4) и первой
диаграммой (33,5). Раскрыв их в аналитическом виде, получим
2ii = "o[t/o + ^(P)]" 202 = n0t/(p).
§ 34]
РАСПАД КВАЗИЧАСТИЦ
161
С той же точностью плотность конденсата п0 в этих формулах можно заменить
полной плотностью газа п. Как было указано в § 25, в этой модели импульсы
частиц газа можно считать малыми, соответственно чему фурье-компоненты U
(р) можно заменить их значением U0 при р = 0. Тогда
Zu = 2 nUt, 202 = ni/0. (33,13)
Подстановка этих выражений в (33,11) дает \i = nU0 - в согласии с (25,6).
Подстановка же в (33,9-10) приводит к следующим формулам для функций
Грина:
G (со, Р)
(w> Р) = со2 - е2 (р) + "0 '
где
I 1/2
o)-{-p2/2m-{-nU0
со2 -e2(,o) + i0 ' По I дч
-nU о
Из вида знаменателей этих функций ясно, что е (р) есть энергия
элементарных возбуждений - в согласии с полученным ранее другим способом
результатом (25,10 -11).
§ 34. Распад квазичастиц
Конечная продолжительность жизни (затухание) квазичастицы в квантовой
