Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
возбуждения внутренних движений, т. е. с появления в жидкости
элементарных возбуждений.
Предположим, что в жидкости появляется одно элементарное возбуждение с
импульсом р и энергией г(р). Тогда энергия Е0 жидкости (в системе
координат, в которой она первоначально покоилась) сделается равной
энергии этого возбуждения е, а ее импульс Р0 - импульсу р. Перейдем
теперь обратно к системе координат, в которой покоится капилляр. Согласно
известным из механики формулам преобразования энергии и импульса, имеем
для энергии Е и импульса Р жидкости в этой системе
? = ?" + P"v + ^-, P = P0 + Afv, (23,1)
§ 23]
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
113
где М-масса жидкости. Подставив е, р вместо^, Р0, напишем
Член 7Ио2/2 представляет собой первоначальную кинетическую энергию
текущей жидкости; выражение же e + pv есть изменение энергии благодаря
появлению возбуждения. Это изменение должно быть отрицательным, поскольку
энергия движущейся жидкости должна уменьшаться
При заданном значении р величина, стоящая в левой стороне неравенства,
имеет наименьшее значение при антипарал-лельных р и v; поэтому во всяком
случае должно быть е -pv < О, т. е.
Это неравенство должно выполняться хотя бы для некоторых значений
импульса р элементарного возбуждения. Поэтому окончательное условие
возможности появления возбуждений в движущейся по капилляру жидкости мы
получим, найдя минимум величины г/р. Геометрически отношение г/р есть
тангенс угла наклона прямой, проведенной из начала координат (в плоскости
р, е) в некоторую точку кривой в = е(р). Его минимальное значение
определится, очевидно, точкой, в которой проведенная из начала координат
прямая касательна к кривой. Если это минимальное значение отлично от
нуля, то при не слишком больших скоростях течения в жидкости не смогут
появиться возбуждения. Это значит, что ее течение не будет замедляться,
т. е. жидкость обнаружит явление сверхтекучести.
Полученное условие наличия сверхтекучести по существу сводится к
требованию, чтобы кривая е = е(р) не касалась оси абсцисс в самом начале
координат (отвлекаясь от маловероятной возможности касания ею этой оси в
дальнейшем своем ходе). Поэтому к сверхтекучести приведет по существу
всякий спектр, в котором достаточно малые возбуждения являются фононами.
Рассмотрим теперь ту же жидкость при температуре, отличной от абсолютного
нуля (хотя и близкую к нему). В этом случае жидкость не находится в
основном состоянии - она содержит возбуждения. Приведенные выше
рассуждения сами по себе остаются в силе, поскольку в них не было
использовано непосредственно то обстоятельство, что жидкость находилась
первоначально в основном состоянии. Движение жидкости относительно стенок
трубки при выполнении указанного условия по-прежнему не сможет привести к
появлению в ней новых эле-
(23,2)
е -fpv < 0.
(23,3)
114
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
ментарных возбуждений. Необходимо, однако, выяснить, каким образом будет
проявляться наличие возбуждений, уже существующих в жидкости.
Представим себе для этого, что "газ квазичастиц" движется как целое
относительно жидкости поступательно со скоростью v. Функция распределения
для движущегося как целое газа получается из функции распределения п(г)
неподвижного газа путем замены энергии е частицы величиной е-pv, где р -
импульс частицы. Для обычного газа это обстоятельство является
непосредственным следствием принципа относительности Галилея и
доказывается просто путем перехода от одной системы координат к другой* В
данном же случае такие соображения непосредственно не применимы, так как
газ квазичастиц движется не в пустоте, а "сквозь жидкость". Тем не менее
утверждение остается в силе, как это вытекает из следующих рассуждений.
Пусть газ возбуждений движется относительно жидкости со скоростью v.
Рассмотрим систему координат, в которой газ как целое покоится, а
жидкость соответственно движется со скоростью - v (система К). Согласно
формуле преобразования (23,1), энергия Е жидкости в системе /С связана с
энергией Е0 в системе, в которой жидкость покоится (система /С0)>
соотношением
Пусть в жидкости появляется элементарное возбуждение с энергией г(р) (в
системе /("). Тогда дополнительная энергия жидкости в системе К будет е -
pv, чем и доказывается сделанное утверждение*).
Таким образом, полный импульс газа квазичастиц (отнесенный к единице
объема) будет
Предположим, что скорость v мала, и разложим подынтегральное выражение по
степеням pv. Член нулевого порядка исчезает (при интегрировании по
направлениям вектора р), и остается
*) Для квазичастиц в бозе-жидкости п (е) - распределение (22,2). Обратим
внимание на то, что условие сверхтекучести (v < г/р) как раз совпадает с
условием, обеспечивающим положительность и конечность выражения п (е-pv)
для всех энергий.
Р = ^ рп (е-pv) dr.
или, после усреднения по направлениям р
§ 23]
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
115
Прежде всего мы видим, что движение газа квазичастиц сопровождается
переносом некоторой массы:, эффективная масса единицы объема газа
