Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
В одноосном кристалле энергия анизотропии имеет вид
4 М*. (69,12)
Если К > 0, то равновесная намагниченность направлена вдоль оси симметрии
- ось z (ферромагнетик типа "легкая ось"); если же К<0, то направление
спонтанной намагниченности лежит в плоскости ху (ферромагнетик типа
"легкая плоскость"). В кубическом кристалле энергия анизотропии может
быть представлена в виде
ит = ^№Щ + М\М\ + М1М%, (69,13)
где оси х, у, z направлены вдоль трех осей симметрии четвертого порядка
(ребра кубических ячеек). Если К' > 0, то равновесный вектор М направлен
вдоль одного из ребер кубических ячеек, а если К' < 0 - то вдоль одной из
пространственных диагоналей ячеек 1).
Для определенности, будем рассматривать одноосный ферромагнетик. Добавив
к подынтегральному выражению в (69,5) член Ua" (69,12), получим после
варьирования дополнительный член -КМгхЬЖ, где v-единичный вектор в
направлении оси симметрии кристалла. Таким образом, для эффективного поля
находим
н-* = ""жж+"^+н- <69'14>
Легко видеть, что этим изменением эффективного поля исчерпываются
изменения, которые учет релятивистских эффектов вносит в уравнение
движения (69,9). Действительно, пренебре-
*) Безразмерные величины К, К' для различных' ферромагнетиков имеют
значения, лежащие в широком интервале от десятых долей единицы до
десятков. Порядок же величины отношения релятивистских взаимодействий к
обменному характеризуется величиной a3UaH/Tc и составляет обычно
10-4- ю-*.
§ 70]
МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. СПЕКТР
343
жение диссипацией означает по-прежнему, что правая часть уравнения
движения должна быть перпендикулярна Нэф, т. е. должна иметь вид [М'Нэф],
где М' может отличаться от М лишь за счет релятивистских поправок, всегда
малых по сравнению с большой величиной М и потому несущественных.
Релятивистские же члены в Нэф добавляются к величине, малой в силу
медленности изменения М вдоль тела; эти члены могут стать существенными
при достаточно больших длинах волн.
§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр
Применим полученные в предыдущем параграфе уравнения к распространению
волн, в которых плотность магнитного момента совершает малые колебания,
прецессируя относительно своего равновесного значения М0. Мы будем
рассматривать однодоменный образец, во всем объеме которого М0 постоянно,
и ограничимся случаем волн с длиной, -много меньшей размеров образца.
Тогда среду можно рассматривать как неограниченную.
Рассмотрим сначала вопрос с учетом только обменных взаимодействий, т. е.
на основе уравнения (69,11). Положим М = = М0 + ш, где ш-малая величина,
и линеаризуем уравнение, отбросив члены второго порядка по ш; поскольку
абсолютная величина М = Ма, то в этом приближении mJ_M0. Получим
<70>i)
(здесь и ниже полагаем g = 2). Для ш, зависящего от координат и времени
как ехр [t (kr - и*)], находим
*(r)п1 = М-обй*[тЯ10], (70,2)
где a = a(n) - aiknlnk, п -единичный вектор в направлении волнового
вектора к. Раскрыв это уравнение в компонентах, имеем
I б I
/со тх = J-L a Mk2m1l9 х тс у9
I & I
/сот,, ----aMk2mr
у тс х
(ось z - в направлении М0). Отсюда находим закон дисперсии спиновых волн
г)
= "(")*'¦ (70,3)
х) Квадратичный закон дисперсии спиновых волн был впервые найден с
помощью микроскопической теории Ф. Блохом (F. Bloch, 1930). Выражение
этого спектра через макроскопические параметры дано Л. Д. Ландау и Е. М.
Лифшицем (1945).
344 МАГНЕТИЗМ [гл. VII
Мы видим, в соответствии со сказанным в начале предыдущего параграфа, что
в обменном приближении частота стремится к нулю при k->-0. Вектор ш в
спиновой волне вращается в плоскости ху с постоянной угловой скоростью
со, оставаясь постоянным по абсолютной величине.
В квантовой картине формула (70,3) определяет энергетический спектр
магнонов е - йы1):
e(k) = 2pMa(n)fc". (70,4)
В формализме вторичного квантования макроскопические величины,
описывающие ферромагнетик, заменяются операторами, выраженными через
операторы уничтожения и рождения магнонов. Покажем, как это Должно быть
сделано для магнонов (70,4). .
Приведем в соответствие с классической величиной М векторный оператор М,
компоненты которого удовлетворяют определенным правилам коммутации. Пусть
S(r)SK-оператор суммарного спина атомов в физически бесконечно малом
элементе объема 6К в точке г. Операторы и S(r2)6K2,
относящиеся к различным элементам 6У1 и б1/2, коммутативны. Компоненты же
одного и того же оператора S (г) 6У удовлетворяют обычным правилам
коммутации момента:
S* 6V ¦ S" 6V-Sy 6У • S* 6V - i§z S К,
или SxSy -SySx = iSz/&V (и аналогично для остальных коммутаторов). В
пределе 6У-*0 эти правила записываются для любых 1-j и г2 в едином виде
Sx (rx) Sy (r2)-Sv (r2) Sx (гх) = iSz (rx) б (гх-гя).
Умножив теперь это равенство на 4{52 и заметив, что оператор
намагниченности М =-20S, получим
Мх (г,) Му (г2) - Му (r2) Мх (rt) =-2фМг (гх) S (гх-г,). (70,5)
В применении к спиновым волнам, в которых М испытывает малые колебания
вокруг оси г, в первом приближении по малым величинам тх, ту можно
