Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
(или D'g) группы О/,1).
Функции базиса этого представления можно выбрать так, чтобы они
преобразовывались как собственные функции i|>?, (m =- /, ..., j) момента
j = 3/22). Это обстоятельство позволяет применить следующий прием,
существенно упрощающий решение задачи (J. М. Luttinger, 1956).
Для четырехмерного представления матрица оператора (68,1) будет ранга
4x4, с 16 элементами. Всякую такую матрицу можно представить в виде
линейной комбинации 16 заданных линейно независимых матриц 4x4, в
качестве которых выберем 15 матриц
iх' ix, {/-v' jy}+t ix> {ixi iy /2}+
и получающихся из них циклическими перестановками индексов х, у, г, и
матрицу {jx, {]у, jz}+}+ (символ {...}+ означает антикоммутатор). Здесь
jx, jy, jz-матрицы декартовых компонент момента / = 3/2, взятые по
отношению к четырем функциям i|4/2. С другой стороны, при таком выборе
функций базиса следует считать, что сами операторы jx, jy, jz
преобразуются при поворотах и отражениях как компоненты аксиального
вектора. Это обстоятельство позволяет записать оператор V, квадратичный
по kx, ky, kz, составив его из выражений, инвариантных по отношению ко
всем преобразованиям группы Oh:
V = РЛ2 + 40, Щ + kfH + kf2) +
+ Рз (kxky {/*, %}+ + kykz fjy, /г}+ + kxkz {jz, ]x}+), (68,3)
где Pj, p2, Рз - вещественные постоянные.
Матричные элементы оператора (68,3) по отношению к функциям
^1 ~ ^3/2, -фз - ¦ф4~'|>.-з/а
легко вычисляются теперь по хорошо известным матричным элементам момента
(они даются формулами III (29,7-10)). Такое
3). Такая ситуация имеет место для дна дырочной зоны в алмазе, кремнии и
германии, которые Есе имеют решетку одинакового типа.
2) В задаче в III § 99 показано, что неприводимое представление Z)^2)
полной группы вращений остается неприводимым и по отношению к группе О,
совпадая с ее представлением ?>',
§ 68J ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ВБЛИЗИ ТОЧКИ ВЫРОЖДЕНИЯ 333
вычисление приводит к следующим выражениям:
V И =^44 - (Pi + ЗР2) (kl -\-ky) + (Pi + 9P2) k\,
^22 = ^33 - (Pl + 7p2) (kl + kl) +(Pi +P2) k2z,
Vlt = -Vai = ^№z(ky + ikx), (68,4)
V13 = ^24 = 2/ЗР2 (kl-k%) +-^
Vu = Vu=0.
Составление секулярного уравнения можно упростить, заметив, что
расщепление уровня заведомо не может быть полным - должно оставаться
двукратное (крамерсовское) вырождение. Это значит, что каждый корень Я =
е(к)- е(0) секулярного уравнения (собственное значение матрицы К) будет
двойным. Другими словами, каждому собственному значению Я будет
соответствовать два линейно независимых набора величин фл (п = = 1, 2, 3,
4) - решений уравнений
ЗХаФл^Фя- (68,5)
п
Комбинируя эти два набора, мы можем, следовательно, наложить на величины
ф" одно дополнительное условие, в частности- обратить в нуль одну из них;
пусть ф4 = 0. Тогда уравнение (68,5) с л = 4 даст
^41Ф1 "Ь ^4гФг ~Ь ^4зФз ~ 0.
Подставив отсюда значение ф3 в уравнения с п= 1, 2, получим систему всего
двух однородных уравнений с двумя неизвестными и ф2:
(Vii-VijVis/Vi3 V12-Vi2V 13iV4S\ f(рЛ " (
V^2i ^41^23/^43 ^22-^42^23/^43/ \фа/ \Фа/
(уравнение же с п = 3 не дает ничего нового). Таким образом, задача о
собственных значениях 4 х 4-матрицы сводится к задаче для 2 х 2-матрицы.
Составив для нее секулярное уравнение и решив его (со значениями Vпт из
(68,4)), получим
ь = у (Ун + У") ± [I (Уи - V22y + ] Vlt I" + ] Vlt ,
или окончательно
Ei, 3 (k) ¦-8 (0) = Ak" ± [Bk* + С (klkl + k\k\ + kfflY'*, (68,6)
где
^=pi + 5p2( В - 16pi, C = 3(lpj-16pi)
334
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
(G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. Kittel, 1955). Уровень расщепляется при
выходе из точки к = 0 во всех направлениях1).
Остановимся кратко на вопросе о виде уравнений, описывающих поведение
частиц вблизи вырожденного дна зоны в магнитном поле. Для определенности
будем иметь в виду второй из рассмотренных в этом параграфе случаев-
спектр (68,6).
Прямое использование гамильтониана, составленного из (68,6) по общему
правилу (56,7), натолкнулось бы на затруднения, связанные с
неаналитическим характером спектра вблизи точки к = 0. Эти трудности
можно обойти, если произвести замену к->-к = К-еА/Йс не в (68,6), а в
матричном гамильтониане
(68,3) (для сохранения эрмитовости при этом должна быть произведена
симметризация по компонентам к). Каждый матричный элемент гамильтониана
превращается после этого в линейный дифференциальный оператор,
действующий не только на спиноаые индексы, но и на аргументы функций <р"
(К) в уравнениях (68,5), которые превращаются, таким образом, в систему
четырех линейных дифференциальных уравнений.
Для учета спиновых эффектов при наличии магнитного поля к гамильтониану
(68,3) надо еще добавить члены, непосредственно зависящие от Н, которые
не определяются соображениями калибровочной инвариантности. Поскольку
поле считается слабым, добавляемые члены должны быть линейны по Н; в то
же время в виду предполагаемой малости к они не должны зависеть от к (ср.
§ 59). В данном случае общий вид таких членов, инвариантных относительно
