Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
изменение 6Л4 намагниченности под влиянием релятивистских эффектов
получается вычитанием из (71,9) такого же интеграла с еоб (k) = 2|3?>&2-
f-2|3.?> вместо е(к):
ш=-т j i'[е (к:>-е°б 1W] Ц ¦¦ (71 >11)
Этот интеграл уже сходится при больших к1).
2) Во избежание недоразумений отметим, что поправку к энергии основ-
ного состояния этим способом определить нельзя: без дифференцирования
по § интеграл от е -e0g расходится при использовании длинноволновых вы-
ражений для спектра магнонов.
352
МАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
Для вычисления удобно сначала продифференцировать его по М при постоянном
b (для этого и введено обозначение b в (71,10)). После простых
преобразований получим
Ввиду сходимости интегрирование по dk можно распространить до оо.
При i?) = 0 интеграл легко вычисляется; интегрируя затем по М, получим
Эта величина очень мала: 8М/М ~ 10-в.
Если же внешнее поле велико (S^>4пМ), можно пренебречь членом 4nMsin29 в
знаменателе подынтегрального выражения. После этого вычисление приводит к
результату
При ,§->-00 8М стремится, как и следовало, к нулю.
В заключение отметим, что если бы мы попытались тем же способом, который
был применен в этом параграфе к трехмерному случаю, рассмотреть
температурную зависимость намагниченности двумерного ферромагнетика, то
(в чисто обменном приближении) мы получили бы вместо (71,6)
логарифмически расходящийся интеграл. Это означает, что спонтанное
намагничение в двумерной системе с обменным взаимодействием в
действительности отсутствует при всех ТФ 0. Эта ситуация аналогична той,
которая была отмечена в § 27 для двумерной бозе-жидкости (и в V § 137-для
двумерного кристалла). Независимость энергии системы от направления
магнитного момента приводит к тому, что в ее выражение входят только
производные вектора М; в свою очередь, это приводит, в конечном итоге, к
расходимости флуктуаций (в двумерном случае), разрушающих намагничение.
Учет релятивистских взаимодействий, зависящих от направления М,
стабилизирует флуктуации и делает возможным существование двумерного
ферромагнетика.
1. Вычислить магнонные части термодинамических величин при
температурах Г<^е (0).
Решение. Существенны магноны с малыми квазиимпульсами к,
распространяющиеся в направлении, где щель минимальна, т е вблизи 0 = 0 и
9 = я; оба эти значения дают одинаковый вклад. Например, при малых 0
(71,12)
Задачи
§71] МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ 353
имеем, с требуемой точностью,
е (к) = 2§КМ + Ak2 + 4я(Ш02,
где A - 2fiMa для кубических кристаллов или А = 2$Ма# для одноосных
кристаллов типа "легкая ось". Распределение магнонов при рассматриваемых
температурах можно считать больцмановским (т. е. можно пренебречь
единицей в знаменателях подынтегральных выражений) и заменить везде в
пред-экспоненциальных множителях е (к) на е(0). Интегрирование по k и по
0 распространяется до оо, ив результате находим
^г5/2 / 2§КМ \ .. Р - -
--------exp------V- , М
маг З2я5/М3/2 \ т )' маг_ VKM'
При вычислении теплоемкости следует дифференцировать только
экспоненциальный множитель
С"аг = 2рА:Л*Г-*?маг.
2. Определить зависимость намагниченности от внешнего поля при
условиях §^>4яМ,
Решение. В указанных условиях можно пренебречь релятивистскими членами и
писать е (к) в виде (70,11). Продифференцировав выражение (71,4), находим
дМ 4р2 Г ег<т dsk д$~Т J (ег1Т_1)Ч2пГ'
В интеграле существенны малые к. Поэтому
дМ (* 1 dbk Т } k2dk
WT f;
J е2 (2я)3 2я2 J (а?2УИ0-}-§)4
(полагаем a=const; Ма - значение М при § = 0) и окончательно
дМ _ Т________
3$ 8я(аМ0)3/2§1/2 '
Таким образом, в рассматриваемых условиях М-Мцсс^1^2.
3. Определить зависимость намагниченности при Т = 0 от внешнего поля в
слабых полях.
Решение. Дифференцируя интеграл (71,11) с е (к) из (71,10) по получим
дМ^ _____________________4jt2PAfSsio46________________d?k_
д§ J [(аЛ4о62 + 4яМ0 sin2 в + fc) (аЛ4062+й)]3/2 (2я)3'
При § -"- 0 интеграл по dk расходится логарифмически при малых k.
Пдэтому, ограничиваясь логарифмической точностью, можно положить в первом
множителе в знаменателе k = 0, $$ - 0, а во .втором § = 0, но при этом
обрезать интеграл снизу при ?2~'§/аМй и сверху -при №~4п1а. В результате
получим
дМ___________Р 1п 4пМ0
32 ]/"зхУИ0(r)3/* fc
Напомним, что в (71,10) пренебрежено К. При в логарифме § заме-
няется на КМ$.
4. В обменном приближении определить пространственную корреляционную
функцию флуктуаций намагниченности на расстояниях r^>a.
Решение. Операторы тх и ту, удовлетворяющие правилу коммутации (70,6) и
выраженные через операторы уничтожения и рождения магнонов,
354 МАГНЕТИЗМ [гл. VII
имеют вид (в шредингеровском представлении)
тх (Г) = (РМД01/2 2 (akeikr +a?e~ikr), к
ту (г) = i фМД01/2 2 ("ке1кГ - "к"~'кг)-к
С помощью этих операторов вычисляем корреляционную функцию Фik (г)=у
<"/(ri)m* (г2) + "л (г2)",- (ri)>, r = ri-ra
(индексы i, fe пробегают значения х, у). Учтя, что отличные от нуля
диагональные матричные элементы имеют только произведения <iak акУ = пк,
