Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
существовании нижней границы для плотности числа электронов проводимости
в полуметалле.
В диэлектрике, где электроны и дырки при Т = 0 отсутствуют, возможность
образования ими связанных состояний означает лишь появление новых ветвей
энергетического спектра. В ком--пенсированном же металле такая
возможность означала бы, что состояние со свободными электронами и
дырками не является низшим, т. е. спектр металлического типа был бы
неустойчивым. Возможность образования связанных состояний устраняется
экранировкой кулоновского взаимодействия между электроном и дыркой
находящимися "между ними" другими квазичастицами. Другими словами,
среднее расстояние между квазичастицами должно быть порядка величины или
меньше размеров экси-тона гех (в его основном состоянии). Обратим
внимание на то, что устанавливаемый этим требованием нижний предел
допустимых для металла плотностей числа электронов и дырок падает с
уменьшением их эффективных масс.
§ 67. Электроны и дырки в полупроводниках
Энергетический спектр чистых (или, как говорят, собственных)
полупроводниковых кристаллов отличается от спектра диэлектриков только в
количественном отношении-.меньшими значениями щели Д, в результате чего
при обычных темерату-рах в полупроводнике имеется значительная (по
сравнению с диэлектриком) плотность носителей тока. Ясно, что это
различие условно, и к тому же зависит от интересующей нас области
температур2). В примесных (или легированных) полупроводниках
дополнительным источником электронов или дырок являются атомы примесей,
для которых энергетическая щель
*) Интересно отметить, что вблизи верхнего края (максимума) зоны, где
эффективные массы отрицательны, могут образовывать связанные состояния
два электрона (или две дырки). Энергия таких состояний лежит в
запрещенной области выше максимума суммарной энергии электронов.
2) Приведем значения энергетической щели Д для некоторых
полупроводников: Si - 1,17 эв, Ge - 0,74 эв, InSb - 0,24 эв, GaAs-1,52
эв, PbS-0,29 эв. Для типичного диэлектрика алмаза Д = 5,4 эв.
328
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
по отношению к отдаче электрона в решетку (донорная примесь) или его
захвата из решетки (акцепторная примесь) оказывается меньше, чем
энергетическая щель в основном спектре.
Рассмотрим подробнее вопрос о связи между величиной щели А и плотностью
электронов проводимости и дырок в полупроводнике (или диэлектрике).
Попарное возникновение или исчезновение электрона (е) и дырки (К) можно
рассматривать, с термодинамической точки зрения, как "химическую
реакцию" e + h7^0 (основное состояние кристалла играет роль
"вакуума"). По общим правилам
(см. V § 101) условие термодинамического равновесия этой реакции
записывается в виде
Ие + Ий = 0, (67,1)
где |ле и fih-химические потенциалы электронов и дырок. Ввиду
сравнительно небольшой плотности электронов (пе) и дырок (nh) в
полупроводнике (при Т <5; А) распределение Ферми для них с большой
точностью сводится к распределению Больцмана, так что электроны и дырки
образуют классический газ *). Из условия (67,1) следует тогда обычным
образом (см. V § 101) закон действующих масс, согласно которому
произведение равновесных плотностей
nenh - K (Т), (67,2)
где справа стоит функция температуры, зависящая только от свойств
основной решетки, на атомах которой и происходит рождение и уничтожение
электронов и дырок; эта функция не зависит от наличия или отсутствия
примесей. Вычислим функцию К(Т), приняв для определенности, что энергии
электронов и дырок являются квадратичными функциями квазиимпульса (66,1).
Распределение электронов (в единице объема) по квазиимпульсам дается
распределением Больцмана
руп {Ре-е* Щ 9 йЧ Р \ Т ) (2 л)3
(множитель 2 учитывает два направления спина). Переход к распределению по
энергиям осуществляется заменой
" d4 V~2rnJ'
(2я)3 л2&3
¦j/ee-А йге,
где те - (т^т^)1^3, а тг, т2, т3-главные значения тензора эффективных
масс тЦК Полное число электронов в единице
*) Плотности электронов и дырок в полупроводниках при обычных
температурах составляют 1013-1017 см~-э, в то время как в металлах они
составляют 1022-1023 см-3.
§ 68] ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ВБЛИЗИ ТОЧКИ ВЫРОЖДЕНИЯ 329
объема есть, следовательно,
, ~,П3/2
П.=-
УТт:
(в виду быстрой сходимости интегрирование можно распространить до
бесконечности). Вычислив интеграл, находим
", = 2(-^)3/>*-Д)/г. (67,3)
Аналогичным образом, получим
(67'4)
Наконец, перемножив оба выражения и учтя (67,1), получим искомый
результат -
n,nh = ТЧ-ыт. (67,5)
2я%в
В собственном полупроводнике, где все электроны и дырки возникли парами:
<67'6>
Приравняв же выражения (67,6) и (67,3), найдем химический потенциал
электронов1)
<67'7>
Что касается вклада электронов и дырок в термодинамические величины
полупроводника, то при Т Д он экспоненциально мал. Учитывая, что на
рождение одной пары электрон - дырка требуется энергия, близкая к Д,
имеем для электроннодырочного вклада во внутреннюю энергию Eeh " Vne А с
