Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
распределении' атомных магнитных моментов называют магнонами. Поскольку
речь идет о квазичастицах в трансляционно-симметричной кристаллической
решетке, магноны обладают определенными не истинными импульсами, а
квазиимпульсами, пробегающими значения в одной ячейке обратной решетки. В
классической картине магнонам отвечают спиновые волны -
распространяющиеся вдоль решетки колебания магнитных моментов. Магноны
подчиняются статистике Бозе, и предельному классическому случаю спиновых
волн отвечают большие числа заполнения состояний маг-нонов.
Если длина спиновой волны велика по сравнению с постоянной решетки а (т.
е. волновой вектор /г<^1 /а), то волну можно рассматривать
макроскопически; в результате закон дисперсии волн со (к) будет выражен
через феноменологические параметры (материальные константы), входящие в
макроскопические уравнения движения магнитных моментов. Тем самым будет
выражен через эти параметры и спектр магнонов е = А(c)(к). Такой путь
определения спектра магнонов вполне аналогичен определению спектра
длинноволновых фононов через макроскопические параметры (упругие модули),
* входящие в макроскопические уравнения колебаний в звуковых волнах. Для
выполнения этой
338
МАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
программы необходимо предварительно вывести указанные уравнения
движения1).
Проведем сначала рассмотрение с учетом только обменных взаимодействий.
Поскольку мы интересуемся слабо возбужденными состояниями ферромагнетика
(только их свойства и могут быть выяснены в общем виде), мы должны
ограничиться "медленными" движениями магнитного момента с малыми
частотами. Такими будут движения, в которых направление магнитного
момента медленно меняется в пространстве, а его величина остается
постоянной. Действительно, равновесная величина намагниченности
фиксирована обменным взаимодействием; поэтому ее изменение во всяком
случае связано с конечной затратой энергии при любой длине волны
(предполагается, что тело находится достаточно далеко от своей точки
Кюри, в которой спонтанная намагниченность исчезает). С другой стороны,
энергия не меняется при повороте магнитного момента тела как целого;
поэтому неоднородный вдоль тела поворот намагниченности будет требовать
тем меньшей энергии, чем больше длина волны (другими словами,
длинноволновые колебания будут иметь малую частоту). Искомое уравнение
для плотности магнитного момента (намагниченности) М должно поэтому иметь
вид, сохраняющий |М|:
^ = [QM], (69,1)
где Q - угловая скорость прецессии момента, которую мы сейчас определим.
Мы пишем уравнение движения как дифференциальное уравнение первого
порядка по времени, поскольку при малых частотах высшими производными
можно пренебречь.
Для определения Q необходимо учесть, что при больших длинах волн и низких
температурах диссипация энергии при изменении намагниченности мала и ею
можно пренебречь (мы вернемся к обоснованию этого предположения в конце §
70). Для выяснения же вопроса о том, как выглядит условие отсутствия
диссипации, будем рассматривать магнитный момент магнетика как
независимый параметр, равновесное распределение которого находится
минимизацией свободной энергии. Мы будем производить минимизацию при
постоянных температуре, объеме тела и значении напряженности поля Н в
каждой точке тела; термодинамическим потенциалом по отношению к этим
пере-
1) Дальнейшие результаты этого параграфа принадлежат Л. Д. Ландау и Е. М.
Лифшицу (1935). Отметим, что эти результаты справедливы для "обменных"
ферромагнетиков. Мы не будем касаться здесь так называемого слабого
ферромагнетизма, в котором ферромагнитный момент появляется только при
учете релятивистских взаимодействий.
§ 69]
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАГНИТНОГО МОМЕНТА
339
менным является свободная энергия F1). Вариацию 8F при бесконечно малом
изменении М можно записать как
8F=-^H3imdV, (69,2)
где мы ввели обозначение Нэф для "эффективного поля" по аналогии с
выражением для энергии магнитного момента во внешнем магнитном поле. В
равновесии H9(J) = 0.
Диссипация энергии при изменении намагниченности со временем вычисляется
как производная
/~1 гр dS dRmin dF
v -1 dt ~ dt ~ dt '
где 5 - энтропия тела, a Rmm - минимальная работа, необходимая для
приведения тела в данное неравновесное состояние. С помощью (69,1) имеем,
таким образом,
Q = J Нэф d-?dV = J Нэф [QM] dV. (69,3)
Отсюда видно, что в отсутствие диссипации вектор й должен быть параллелен
вектору Нэф, так что можно положить й = = const-H34. После этого
уравнение (69,1) примет вид
М = const [Н9фМ]; (69,4)
смысл и значение постоянной выяснятся ниже.
Согласно определению (69,2), явный вид эффективного поля находится
варьированием полной свободной энергии тела. Последняя дается интегралом
F = J {/о (М) + t/"eo"-MH -g} dV (69,5)
(см. VIII § 36). Здесь f0(M) - плотность свободной энергии однородно
намагниченного тела при Н = 0, учитывающая лишь обменные взаимодействия и
потому не зависящая от направления М. Uue0д есть плотность дополнительной
