Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
(к) тоже заполняют зоны. Шириной энергетической щели в диэлектрике обычно
называют сумму А = е|й" + наименьших возможных значений энергий электрона
и дырки. Поскольку электрон и дырка появляются или исчезают вместе, то
реальным смыслом обладает именно эта сумма, а не величины е{$" и е{$п по
отдельности; обычно условно полагают Ет|п = 0-Минимальные значения
энергии могут достигаться для электронов и дырок при одном и том же или
при различных- значениях квазиимпульса k = k0; в первом случае говорят о
прямой, а во втором - о непрямой щели. Если уровни энергии в зоне не-
вырождены (или вырождены только двукратно по спину как следствие
симметрии по отношению к обращению времени), то вблизи своего минимума
функции е (к) имеют вид
е<е>(к ) = А + ±т%-'Ч1Чк, e<A>(k)=i-m^-V^. (66,1)
где q=k-к", а т$ и -тензоры эффективных масс электронов и дырок.
В литературе электронную зону нередко называют просто зоной проводимости,
а вместо дырочной зоны говорят о валентной зоне, которая в основном
состоянии кристалла полностью заполнена электронами. Возникновение пары
квазичастиц - электрона и дырки - рассматривается при этом как результат
перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости с оставлением
дырки на покидаемом месте.
На больших (по сравнению с атомными) расстояниях электрон и дырка
притягиваются по закону Кулона. Поэтому они могут образовывать связанные
состояния. Совокупность связанных электрона и дырки представляет собой
электрически нейтральную квазичастицу, т. е. экситон. При заданном
значении квазиимпульса связанным состояниям отвечают дискретные уровни
энергии системы электрон + дырка; каждый уровень отвечает одной из
экситонных энергетических зон. Энергии экситонов расположены, таким
образом, под энергиями электронно-дырочных возбуждений (энергетическая
щель в указанном в начале параграфа смысле не совпадает поэтому с
величиной А, а
1) Затухание же при конечных температурах, разумеется, всегда имеется
из-за рассеяния на других квазичастидах.
326
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
меньше ее на величину, равную максимальной энергии связи экситона)1).
Уровни энергии экситона легко вычислить в предельном случае слабо
связанных состояний, когда средние расстояния между электроном и дыркой
велики по сравнению с постоянной решетки а; такой экситон называют
экситоном Ванье - Мотта. В обратном же предельном случае, когда
расстояние между электроном и дыркой порядка атомного, говорят об
экситоне Френкеля; разумеется, экситон Френкеля можно рассматривать как
связанное состояние электрона и дырки лишь формально.
Рассмотрим диэлектрический кристалл кубической симметрии. Для экситона
Ванье - Мотта можно считать, что электрон и дырка притягиваются по закону
Кулона, причем роль остальных атомов в решетке сводится лишь к созданию
однородного диэлектрического фона, ослабляющего взаимодействие в е раз,
где е-диэлектрическая проницаемость кристалла (взятая для значений
частот, отвечающих по порядку величины энергии связи экситона); другими
словами, энергия взаимодействия электрона и дырки записывается в виде U =
-e2/er. Пусть щель в спектре прямая и для простоты будем считать, что
минимумы энергий электрона и дырки лежат при к = 0. В кубическом
кристалле тензоры эффективных масс сводятся к скалярным константам те и
mh, так что
В конце § 56 было указано, что движение частицы в кристаллической решетке
с наложенным на нее медленно меняющимся в пространстве внешним
электрическим полем описывается уравнением Шредингера с гамильтонианом, в
котором роль кинетической энеркии играет функция е(к). Поскольку в данном
случае функции ei??)(k)-А и е(Л)(к) совпадают по форме с кинетическими
энергиями обычных свободных частиц, то и уравнение Шредингера
рассматриваемой системы совпадает по форме с таковым для системы двух
обычных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, т. е. с уравнением
Шредингера задачи об атоме водорода. Мы можем поэтому сразу написать
уровни энергии системы, т. е. энергию экситона в виде
(G. Н. Wannier, 1937). Первый член в этом выражении есть энергия движения
экситона "как целого" с квазиимпульсом к.
1) Экситонные состояния обладают, однако, конечным временем жизни, так
как электрон и дырка могут рекомбинировать с испусканием, например
'фонона или фотона.
(66,2)
(к)-А =
А2/?2 те4
(66,3)
2(me + mh) 2ггРп2
ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
327
Второй же член дает энергию связи электрона и дырки в экси-тоне (m =
memhl(me-\-mh) - приведенная масса системы). При заданном к дискретные
уровни энергии системы сгущаются по мере увеличения энергии к границе
непрерывного спектра. Условие применимости формулы (66,3) состоит в
требовании достаточно большой величины "радиуса орбиты" rex ~
foen2/me2:$>a. Это условие заведомо выполняется при больших п, но в
кристаллах с большим е может выполняться и для п ~ 1 *).
В заключение этого параграфа вернемся к упомянутому в § 61 утверждению о
