Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
заменить в правой стороне (70,5) оператор Mz числом М\ тогда
tnx(r1)my(T2)-mv(Tt)mx(r1) = -2i^M8(T1 - r2). ^ (70,6)
Отсюда видно, что величины ту и тх играют (с точностью до постоянных
множителей) в данном случае роль канонически
J) В этой главе р везде обозначает магнетон Бора: Р = |е| %/2ж.
§ 70]
МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. СПЕКТР
345
сопряженных "обобщенных координат и импульсов" - подобно тому, как ф и р'
играли такую же роль при квантовании звуковых волн в жидкости (§ 24).
Подчеркнем, однако, существенное отличие между обоими случаями. Правило
коммутации (24,7) для фононных операторов является точным, не связанным с
малостью колебаний (т. е. с малостью чисел заполнения фононных
состояний). Правило же (70,6) является приближенным, справедливым лишь в
первом приближении по малой величине т.
Исходя из правила коммутации (70,6) и соотношения между операторами тх и
ту, отвечающего линейным уравнениям (70,1), можно найти выражения этих
операторов через операторы уничтожения и рождения магнонов, подобно тому
как это было сделано в § 24 для фононов (см. задачу 4 к § 71).
Вернемся к изучению спектра магнонов и обратимся к учету влияния
релятивистских эффектов на этот спектр. Теперь уже необходимо учитывать и
магнитное поле Н, возникающее при колебаниях М. Оно будет того же порядка
малости, что и т; обозначим его здесь как h.
Уравнения Максвелла (69,10) дают
[kh] = 0, kh = -4лкт.
Отсюда видно, что поле h направлено вдоль волнового вектора и равно
h = -4n(nm)n. (70,7)
Подставив (70,7) в последние два члена подынтегрального выражения в
(69,5), получим
-mh -|^ = 2л(пш)2 (70,8)
(здесь опущен член M0h, который ввиду потенциальности поля h при
интегрировании по всему объему преобразуется в интеграл по поверхности и
обращается в нуль); эту часть энергии анизотропии в спиновой волне иногда
называют магнитостатической. -
Пусть ферромагнетик одноосен -и относится к типу "легкая ось", так что М0
направлено вдоль оси симметрии кристалла (ось г): M0 = vM. Имея в виду
дальнейшие применения, допустим также существование .внешнего поля ф,
параллельного тому же
направлению v; при этом образец надо представлять себе как
цилиндр с осью вдоль V. Тогда поле внутри тела H = *g* + h.
Линеаризованное уравнение движения (которое мы выписываем уже умноженным
на %)
-tern = 20 { (ak2 +К + Jp) [vm]-[yh]} . (70,9)
346
МАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
Для одноосного кристалла a = a1sin20 + a2cos20, где 0 - угол между к и V.
Подставив сюда h из (70,7), расписываем уравнение в компонентах (причем
ось х удобно выбрать в плоскости, проходящей через направления v и п). Из
условия совместности получающихся двух уравнений для тх и ту находим
закон дисперсии
е (k) = 2|ЗМ [ (ak* + К + ^) + + 4я sin2 в) ]1/2.
(70,10)
Отметим, что благодаря наличию члена sin20 = ft|/fe2 разложение е (к) по
степеням компонент к не имеет простого степенного характера; это связано
с дальнодействующим характером магнитных взаимодействий.
Выражение вида (70,10), выведенное здесь для одноосного ферромагнетика
(типа "легкая ось"), справедливо и для кубических кристаллов. Это следует
из того, что изменение энергии анизотропии при малых отклонениях вектора
М от своего равновесного направления имеет в обоих случаях одинаковый
вид. Так, для кубического кристалла с К' > 0 изменение бUaH при
отклонении М от направления М0 вдоль ребра куба зависит только от угла
между М и М0 и равно бt/aH = /<'/M2{)2. Сравнив это с аналогичным
выражением б?/ан = /(7И2й2/2 для одноосного кристалла, мы видим, что для
перехода к случаю кубического кристалла с К' > 0 достаточно заменить в
(70,10) /С-*-2К.'-Аналогичным образом, легко убедиться, что для перехода
к случаю кубического кристалла с К' < 0 (направление М0 вдоль
пространственной диагонали куба) надо заменить К->4|/С/|/3. Отметим
также, что в кубическом кристалле величина а(п) сводится к постоянной.
Для одноосного же ферромагнетика типа "легкая плоскость" (К < 0) ситуация
иная: изменение 8[/ан при отклонении М от М0 зависит как от полярного
угла, так и от азимута направления М относительно М0; поэтому этот случай
требует особого рассмотрения - см. задачу.
Напомним, что результат (70,10) относится лишь к начальной части спектра,
в которой квазиимпульсы k<^.\ /а и допустимо макроскопическое
рассмотрение. Со стороны больших, но удовлетворяющих этому условию
значений k (ай2^>4я, К) выражение (70,10) сводится к
е(к)=2рМа(п)/г2 + 2р§. (70,11)
Первый член здесь совпадает с чисто обменным выражением
(70,4). Внешнее же поле добавляет к энергии магнона просто член 2(3,В
этом приближении, следовательно, магнон обладает проекцией момента на М0,
равной -20. Возбуждение в теле
§ 70]
МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. СПЕКТР
347
каждого магнона уменьшает полный магнитный момент тела на 2{5.
В обратном случае, при к-<-0, выражение (70,10) стремится к отличной от
нуля величине, равной (при § = 0)
е (0) = 2f5M/C ^ 1 + -pr sin20 j1/2. (70,12)
Таким образом, учет магнитной анизотропии приводит к появлению
