Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
пе из
(67,6). Этой величиной можно обычно пренебречь по сравнению с решеточным
вкладом в энергию кристалла.
§ 68. Электронный спектр вблизи точки вырождения
В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким образом можно,
исходя из соображений симметрии, найти вид энергетического спектра
электронов или дырок в полупровод-
г) В литературе эту величину часто называют уровнем Ферми. Подчеркнем,
однако, что химический потенциал электронов в полупроводнике отнюдь не
имеет того смысла граничной энергии, которым он обладает в металлах"
330
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
1ГЛ. VI
нике (или диэлектрике) вблизи определенных точек к-простран-ства
(обратной решетки), выделенных по своей симметрии1).
Рассмотрим решетку, относящуюся к кубическому кристаллическому классу Oh,
и будем интересоваться свойствами энергетического спектра вблизи точки к
= 0-вершины кубической ячейки обратной решетки; эта точка имеет
собственную симметрию полной точечной группы Oh.
В качестве первого примера рассмотрим спектр без учета спина электрона, и
пусть в самой точке к = 0 уровень энергии в зоне двукратно вырожден,
относясь к неприводимому представлению Eg группы 0ft2). При выходе из
точки к = 0 вырождение снимается; задача состоит в нахождении всех ветвей
закона дисперсии е (к) вблизи этой точки.
В § 59 было объяснено, каким образом можно рассматривать отклонение от
некоторой точки k = k0 в к-пространстве как возмущение. Конкретный вид
оператора возмущения для нас здесь несуществен. Достаточно знать лишь
структуру выражений, определяющих поправку к энергии в каждом порядке по
малой величине q = k - k0 (в данном случае к0 = 0, так что q = k). В
первом порядке поправки определяются секулярным уравнением, составленным
из матричных элементов (для переходов между состояниями, относящимися к
одному и тому же вырожденному уровню) от оператора вида kv, где у-
некоторый векторный оператор. В данном случае ввиду наличия в группе
симметрии центра инверсии все матричные элементы оператора 7 заведомо
обращаются в нуль, так что эффект первого порядка по к отсутствует (ср. V
§ 136). Во втором порядке по к поправки к энергии определяются секулярным
уравнением, составленным из матричных элементов от оператора вида
V=Vtkkikk, (68,1)
где yik-некоторый тензорный (симметричный по индексам i, k) эрмитов
оператор; сюда входят поправки от линейных по к членов в гамильтониане во
втором приближении теории возмущений и поправки от квадратичных по к
членов - в первом приближении. Среди матричных элементов оператора (68,1)
заведомо существуют отличные от нуля, но требования симметрии накладывают
на них определенные связи.
В смысле своего закона преобразования при операциях симметрии волновые
функции, составляющие базис представления
*) Без учета спина электрона этот вопрос формально тождествен с таким же
вопросом для энергетического спектра фононов в кристалле; см. V § 136.
2) Обозначение представлений точечных групп - см. III §§ 95, 99.
§ 68] ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ВБЛИЗИ ТОЧКИ ВЫРОЖДЕНИЯ 331
Eg, можно выбрать в виде
tyi~*2 + co(/2 + (r)2z2> х2+ о>2у2+ ш*,
где
(о = е2я'/3, со2 = (о*, l-fw + w2 = 0,
знак ~ означает здесь слова "преобразуется как". Поворот С3 вокруг
диагонали куба преобразует координаты согласно х, у, z->-z,x,y\ при этом
функции г)з2 преобразуются как
С3: --ф2 -^со2-ф2.
Поворот С? вокруг ребра куба (преобразование х, у, z->х,
- г, у) преобразует функции согласно
С{: "Ф1 -^ "Фа,
и т. п. При инверсии координаты х, у, z меняют знак, а'функ-ции г}?!, -ф2
не меняются.
Отсюда легко заключить, что все матричные элементы от недиагональных
компонент yik обращаются в нуль, а матричные элементы от диагональных
компонент сводятся к двум независимым вещественным постоянным:
<! |Y**| 1> = <2|y** |2> = <1 \уш\ 1 > = ... = А,
<1 I Y** I 2> = <2 | у** | 1> = 5, <1 \yyy\2-> = (aB, < 1 | yzz 12>
= со25.
Теперь матричные элементы оператора (68,1):
<1 | V11> = <2|У|2> = Л?2,
<l\V\2> = <2\V\l>* = B(k2x + akl + w2kl).
Составив по этим матричным элементам секулярное уравнение и решив его,
получим две ветви спектра:
eit а (Л)-е (0) = Ak2 ± 5 [/г4-3 + k2xk2z + KW12- (68,2)
Вырождение снимается при выходе из точки к = 0 во всех направлениях, за
исключением направления диагонали куба (К = ky = kz)J).
В качестве другого примера рассмотрим спектр с учетом спина электрона;
при этом уровням энергии отвечают двузнач-
*) Тот же результат (68,2) получается и для представления Еи (в точке к =
0). Вообще закон дисперсии вблизи заданной точки всегда одинаков для
представлений, отличающихся друг от друга лишь умножением на какое-либо
из одномерных представлений группы (в данном случае Eu = EgxAlu).
Очевидно, что в таких случаях матричные элементы для переходов менаду
различными функциями базиса связаны друг с другом одинаковыми связями"
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ |ГЛ. VI
ные (спинорные) представления группы симметрии. Пусть в точке к = 0
уровень четырехкратно вырожден, отвечая неприводимому представлению D'u
