Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
часть магнонов имеет энергии г~Т. Для квадратичного спектра
е (к) = 2(ЗМа (n) k2 (71,1)
это значит, что при температурах Т<^ТС возбуждены магноны с
квазиимпульсами fe<^(Tc./|5Ma)1/2. Воспользовавшись оценкой
(69,7) для а и оценив намагниченность как М ~ p/а3 (на одну
элементарную ячейку приходится магнитный момент порядка нескольких |3),
находим отсюда ak<^\, т. е. условие применимости результатов § 70.
"Магнонные" части термодинамических величин ферромагнетика вычисляются
как термодинамические величины идеального бозе-газа с равным нулю
химическим потенциалом. Так, для магнонной части термодинамического
потенциала Q имеем
fiMar=Tj ln(l-e-'/r)gs (71,2)
(см. V (54,4)). Отсюда для магнонного вклада во внутреннюю энергиюх)
р О 'Т' ^^МЭГ (* 6 V d?k
¦Смаг - "маг 1 дт ~ J ge/r^_ j (2л)3'
Магнонный же вклад в спонтанную намагниченность дает ее изменение с
температурой. Он вычисляется как производная
1 dQMa
M"ar = M (Г) - М (0) = -
v
•§->О
по внешнему магнитному полю (ср. VIII (31,4)). Дифференцируя выражение
(71,2), получим
М
маг '
Где I 1 dsk .... ..
Производная - (дъ!д$о) представляет собой собственный магнитный момент
магнона.
х) При химическом потенциале ц = 0 (а потому и ф = ЛГ|х = 0) имеем Е - =
Ф + TS -"PV = TS + Q; энтропия же S = - dQ/дТ. Выражение (71,3) можно
было бы, конечно, написать и непосредственно, без обращения к формуле
(71,2).-
350 МАГНЕТИЗМ [гл. VII
Вычислим интегралы (71,3-4) при температурах 7'^>2лрМ1); тогда для
спектра магнонов можно пользоваться предельным выражением (71,1). В виду
быстрой сходимости интегралов интегрирование можно распространить по
всему к-пространству (вместо одной ячейки обратной решетки). Полагая
величину а постоянной (для кубических кристаллов) и заменив d3k ->¦
4яk2dk, после очевидной подстановки получим
УТь/г Г х3'2 dx _.. Т5/3 Г (*/,) ? (6/2)
уТь/г nxVldx
маг 4л2 A3'2 J ех-1
о
4 п2А3^2
где для краткости обозначено Л = 2(Ша (так что е = Л&2)2). Для
теплоемкости СыаГ = дЕ"аГ/дТ находим отсюда
Смог = V ^ гз/2 = о, 113 ( ^у/г V.' (71,5)
Напомним, что это выражение дает лишь магнонную часть теплоемкости;
наряду с ней теплоемкость кристалла содержит еще и обычную фононную
часть.
Обращаясь к интегралу (71,4), подставляем, согласно (70,11) значение -20
для магнитного момента магнона. В результате при T^2nfiM получим
м - рг3/2 Г 1(1,2 dx /71
маг 2п2А3^2 J е*-1 ' ^ ^
о
откуда
М(Т) = М (0) - рг3/2 ^ (,/|)25 (3fl = М (0) - 0, 1170 (ГМ)3/2 (71,7) 2
л2.4
(магнонный вклад исчерпывает, конечно, все изменение намагниченности,
поскольку фононы не несут с собой магнитного момента). Таким образом,
изменение спонтанной намагниченности в области температур 2л0М<^Г<^Тс
следует закону Т3/2 (F. Bloch, 1930).
Наличие щели (70,10) в спектре магнонов приводит к экспоненциальной
зависимости Сиаг и М"аГ от Т в области еще более низких температур. При Т
<^0/СМ
Сиаг, Ммаг оо exp (-20/СМ/7'). (71,8)
Величина, стоящая в числителе экспоненты,- наименьшее значение
энергетической щели, достигаемое при 0 = 0 и 0 = я (см. также задачу 1).
х) Для типичного значения М=2-103гс это условие дает Т 1 Ki
2) О вычислении интегралов такого типа см. V § 58.
§ 71]
МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ
351
Если спонтанная намагниченность ферромагнетика в основном состоянии равна
наибольшему возможному (как говорят, номинальному) значению, отвечающему
параллельности всех атомных моментов в теле, то это значение уже не
изменится при наложении (в том же направлении) внешнего магнитного поля,
т. е. восприимчивость % в этом направлении равна нулю.
Учет релятивистских взаимодействий уменьшает спонтанную намагниченность
(при Т = 0) по сравнению с ее "обменным" значением и приводит к появлению
отличной от нуля восприимчивости (Т. Holstein, Н. Primakoff, 1940). Хотя
этот эффект и очень мал, его вычисление представляет принципиальный
интерес.
При вычислении выше магнитной части термодинамических величин мы опустили
нулевую энергию "магнитных осцилляторов", не дающую вклада в
температурную зависимость этих величин. Нулевая энергия отвечает числам
заполнения магнон-ных состояний, равным 1/2:
С /ГЛ\ Г 1 ,1 \Vd*k
Е (0)маг-] 2 6 ( ) (2я)3 '
Соответственно для "нулевой" намагниченности имеем
' <71'9)
Этот интеграл расходится при больших k, т. е. он определяется главным
образом коротковолновыми магнонами (ta~ 1), которые вообще нельзя
рассматривать макроскопически. Однако изменение намагниченности под
влиянием релятивистских эффектов определяется, как мы увидим,
длинноволновой областью спектра магнонов и может быть вычислено с помощью
полученных в § 70 формул.
Для простоты будем рассматривать кубический кристалл и пренебрежем малой
в этом случае константой анизотропии, т. е. будем писать спектр магнонов
(70,10) в виде
в (к) = 2|3 [(Мг* + §) (bk2 + § + 4яМ sin2 0)]1/2, (71,10)
где Ь = аМ; релятивистским эффектам отвечает в этом выражении член
4jtMsin20, возникающий от учета магнитостатической энергии. Искомое
