Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
интегралом
i6D-4K)=-^§&°4P)&°4P-K)-??p, Р = (Ро,Р), к = (со, к).
В G-функциях надо, однако, еще учесть поправки, связанные со
взаимодействием электронов с коротковолновыми фононами. Согласно
сказанному в тексте, эти поправки приводят просто к замене G(0> на
функцию G, отличающуюся от (65,3) лишь заменой скорости и(tm)' на vp, и
перенормировочной постоянной Z на некоторую другую Z'. При малых К для
произведения G(0> (Р) G(0) (Р - К) можно воспользоваться формулой
(17,10). Интегрирование по- dp0dp сводится к устранению 6-функций, после
чего остается еще интегрирование по dcosQ (0 - угол между р и к);
хп-1/ м Z'Wptpk Г* cos 0 d cos 0
2п2р2 J со - U/7&cos0 + (O -1
(полагаем со > 0). Полюс cos0 = co/kvp находится внутри области
интегрирования (поскольку vp > и), и мнимая часть интеграла
Z''w2p%(o ImS D~1 = - F
2np2v2Fk
Закон дисперсии фононов определяется как корень уравнения Z)(0>-*-}-+
6Z)-1 = 0, откуда находим (в обычных единицах)
г,' 2 2 2
, . . Z w рр
со = "й(1-I а), а-
4rih3t-2
Jpuvp
(поправкой к вещественной части со не интересуемся). Произведение риоо
]/"М ; поэтому в грубой оценке а- Ут/М, т. е. затухание всегда мало.
§ 66. Электронный спектр твердых диэлектриков
Характерная особенность электронного энергетического спектра
диэлектрического немагнитного кристалла состоит в том, что уже первый
возбужденный уровень находится на конечном расстоянии от основного
уровня; другими словами, между основным уровнем и спектром возбужденных
уровней имеется энергетическая щель (у обычных диэлектриков - порядка
нескольких электрон-вольт).
Элементарное возбуждение в диэлектрическом кристалле может быть наглядно
описано как возбужденное состояние атома, которое, однако, нельзя
приписывать какому-либо определенному атому; трансляционная симметрия
решетки, как всегда, приводит к "колл'ективизированию" возбуждения,
распространяющегося в кристалле, как бы перескакивая от одного атома к
другому. Как и в других случаях, эти возбуждения можно рассматривать как
квазичастицы (называемые в этом случае
324
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
экситонами) с определенными энергиями и квазиимпульсами. Как и всякие
квазичастицы, которые могут появляться поодиночке, экситоны обладают
целочисленным моментом и подчиняются статистике Бозе1).
При заданном квазиимпульсе к энергия экситона может пробегать дискретный
ряд различных значений е^(к). Когда квазиимпульс пробегает значения в
одной ячейке обратной решетки, каждая из функций е^(к) пробегает
некоторую зону значений энергии экситона; различные зоны могут частично
перекрывать друг друга. Минимальные значения каждой из функций es (к)
отличны от нуля.
Наряду с экситонамг! в диэлектрике могут существовать электронные
возбуждения также и другого рода. Их можно рассматривать как возникающие
в результате ионизации отдельных атомов. Каждая такая ионизация приводит
к появлению в диэлектрике двух независимо распространяющихся квазичастиц-
электрона проводимости и "дырки". Последняя представляет собой недостаток
одного электрона в атоме и потому ведет себя как положительно заряженная
частица. И здесь, говоря о движении электрона и дырки, мы в
действительности имеем в виду некоторые коллективные возбужденные
состояния электронов диэлектрика, сопровождающиеся (в противоположность
экситонным состояниям) переносом отрицательного или положительного
элементарного заряда.
Электроны и дырки обладают полуцелым спином и подчиняются статистике
Ферми. Подчеркнем, однако, что электроннодырочный спектр диэлектрика
отнюдь не имеет характера электронного спектра фермиевского типа в
металлах. Для последнего характерно существование граничной ферми-
поверхности в к-пространстве, в окрестности которой и лежат квазиимпульсы
электронов. В данном же случае никакой подобной поверхности вообще нет, и
одновременно появляющиеся электрон и дырка могут иметь произвольные
квазиимпульсы. -
Более глубоко различие между обоими типами спектров можно понять,
рассматривая затухание элементарных возбуждений. В ферми-жидкости любая
квазичастица, находящаяся вне ферми-поверхности, может рождать пары новых
возбуждений (частицу и дырку) и потому обладает конечным временем жизни,
быстро убывающим при удалении от ферми-поверхности (электрон в металле
может, кроме того, испускать фононы - см. § 65). Затухание же одиночного
электрона (или дырки) в диэлектрике в идеальной решетке (при 7' = 0)
строго равно нулю в конечном интервале энергий над ее минимальным зна-
1) Понятие об экситонах было впервые введено Я¦ И. Френкелем (1931).
§ 66] ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ТВЕРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ 325
чением1). Действительно, образование электронно-дырочной пары во всяком
случае требует (в виду наличия энергетической щели А- см. ниже) конечной
затраты энергии. Испускание же квазичастицей фонона (акустического)
возможно, лицц> если скорость v квазичастицы не меньше скорости звука и
(см. примечание на стр. 321).
Возможные значения энергии электронов проводимости е(е) (к) и дырок г{Н)
