Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
<ака?> = Ик + 1 (где пк-числа заполнения состояний магнонов), находим
Ф"(г) = 6"]'2рм(пк+1)е'кг^.
Подынтегральное выражение прямо дает фурье-компоненту корреляционной
функции. Постоянный член в ней можно опустить: ему соответствует 6-функ-
ционное слагаемое в <р,-? (г), между тем, как все рассмотрение относится
лишь к расстояниям г^>а. Таким образом,
ср,-* (к) = 2(Шгск6/А = 2|Ш [ег (к)/т_! j-i 8-к.
В классическом пределе, при е<^7\ находим Фik (k) = 6iftT/2afe2.
В кубическом ферромагнетике a= const, и тогда
Фik (О = ЪкТ/8яаг, г > фМа/Т)"/..
§ 72. Спиновый гамильтониан
Для получения закона дисперсии магнонов во всем интервале изменения
квазиимпульса (а не только в длинноволновом пределе) необходимо,
разумеется, использовать более детальные представления о микроскопической
структуре ферромагнетика.
Рассмотрим диэлектрик, состоящий из атомов с равным нулю орбитальным
моментом, но отличным от нуля спином S. Если не интересоваться высоко
возбужденными состояниями, связанными с возбуждением электронных оболочек
атомов, можно усреднить гамильтониан системы по орбитальным переменным
электронов атомов в основном состоянии (и при закрепленных в узлах
решетки атомных ядрах). В результате мы получим спиновый гамильтониан
системы, содержащий лишь операторы полных спинов атомов1).
Если учитывать только обменное взаимодействие, зависящее лишь от
относительных ориентаций спинов, то операторы векторов спинов атомов
могут входить в гамильтониан лишь в виде
*) Такая процедура аналогична тому, как строятся гамильтонианы отдельных
атомов, описывающие тонкую структуру их уровней"ср. III § 72.
§ 72]
СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
355
скалярных комбинаций. Существенный методический интерес представляет
исследование системы, описываемой простейшим гамильтонианом такого рода:
н--------JnmS"Sm> Jnm = J (Гп гт), (72,1)
тфп
где суммирование происходит по всем атомам; "векторные" (с целочисленными
компонентами) индексы шип нумеруют узлы решетки; г"-их радиус-векторы.
Числа Jnm называют обменными интегралами (ср. III § 62, задачи)1). При
независимом суммировании по m и п каждая пара атомов встречается в сумме
(72,1) дважды, причем, конечно, J пт - J тп-
В (72,1) все магнитные атомы в решетке предполагаются одинаковыми (по
одному в каждой элементарной ячейке). Основное же предположение, лежащее
в основе такого гамильтониана, состоит в достаточной взаимной удаленности
атомов в решетке. Обменный интеграл определяется "перекрытием" волновых
функций двух атомов и очень быстро (экспоненциально) убывает с
увеличением расстояния между ними. Для системы взаимно удаленных атомов
можно поэтому считать взаимодействие парным, в связи с чем в (72,1)
отсутствуют члены с произведениями операторов спина более чем двух
атомов. С этой же точностью можно считать, что обменное взаимодействие
между двумя атомами осуществляется каждый раз всего одной парой
электронов - по одному из каждого атома. Тогда оператор взаимодействия
будет составлен билинейно по операторам спинов электронов, а после
усреднения по состояниям атомов-билинейно по атомным спинам (С. Herring,
1966)2).
Система, описываемая гамильтонианом (72,1), ферромагнитна, если обменные
интегралы /тп > 0. Определим энергию основного состояния такой системы.
Допустим при этом наличие также и внешнего магнитного поля добавив к
(72,1) оператор
? = -2|3?25тг (72,2)
Ш
(ось г-в направлении поля). Оператор 2*§тгпроекции полного спина системы
коммутативен как с Ноб, так и с К; состояния системы можно поэтому
классифицировать цо собственным значениям этой величины.
1) Описание обменного взаимодействия спиновым гамильтонианом было введено
Дираком (Р. А. М. Dirac, 1929). Гамильтониан (72,1) введен ван Флеком (J.
Н. van Vleck, 1931); его обычно называют гейзенберговским, поскольку он
соответствует модели ферромагнетика, впервые рассмотренной Гейзенбергом.
s) В таких условиях суммирование в (72,1) должно производиться, конечно,
лишь по парам соседних атомов. Этим, однако, запись формул никак не
упрощается, и потому мы не будем учитывать это условие явным образом.
356 МАГНЕТИЗМ [гл. VII
В ферромагнитном случае основному состоянию отвечает наибольшее возможное
значение проекции суммарного спина, равное NS, где N-число атомов в
системе (это не связано, конечно, с наличием внешнего поля, которое лишь
выделяет избранное направление оси). Пусть х0- нормированная спиновая
волновая функция основного состояния.
Максимальное значение NS проекции полного спина может достигаться, лишь
если и проекция спина каждого атома имеет свое максимальное значение S.
Поэтому yw0 есть в то же время и собственная функция каждого из
операторов Sn*:
>Snz3Co = S%0. (72,3)
Введем необходимые для дальнейшего операторы S±*=Sx±iSy, удовлетворяющие
правилам коммутации
5+5_- 5_5+ = 2SZ, SZS±-S±SZ = ±S± (72,4)
(см. III (26,12)). Их матричные элементы:
<S, 15 + 15г - 1 > = <5, - 1 15_ 15г> = V(S + Sz) (S-S, + 1) (72,5)
(см. Ill (27,12)); оператор 5+ увеличивает, a 5_-уменьшает на
