Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
единицу значение проекции Sz. Далее, пишем
- 5щ25пг ~\~ ~2 (^ГПт^П- Ч"^Ш-5пт)
и затем
Н = -Jтп (•Smz^nz -f- 5m_5n + )-2[j.^3 У, Smz. (72,6)
тфп m
где использована симметрия /тп =/Пш и коммутативность операторов,
относящихся к разным атомам.
Поскольку операторы 5"+ имеют матричные элементы лишь для переходов с
увеличением чисел Sz, то для состояния с наибольшими значениями этих
чисел
$П+Х. = 0 (72,7)
(что видно также и из явных выражений матричных элементов
(72,5)). Поэтому при воздействии гамильтониана (72,6) на волновую функцию
Хо получается
яхо={-i X ^(tm)s2-2p?Msb0.
( т?=п )
Выражение в скобках и есть энергия Е0 основного состояния. Заменив
суммирование по ш и п суммированием по m и по
§ 72]
СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
357
q=n - гп, запишем окончательно Е0 в виде
?0=_±Л^ ? yq-2|35yV§. (72,8)
q Ф о
Полный магнитный момент системы в этом состоянии есть 2|35УУ.
Следующее, в порядке уменьшения проекции полного спина, состояние системы
отвечает значению NS-1 указанной проекции; оно соответствует возбуждению
одного магнона с магнитным моментом -2|3. Таким значением проекции
полного спина обладает состояние с волновой функцией
(2S)-i/'5n_b, (72,9)
в котором воздействием оператора 5"_ уменьшена на 1 проекция спина одного
из атомов1). Эта функция, однако, не является собственной функцией
гамильтониана системы; в ней не учтена еще трансляционная симметрия
решетки. Собственная функция гамильтониана должна быть построена как
линейная комбинация функций (72,9) со всеми номерами п. Те же
рассуждения, которые привели нас в § 55 к функциям Блоха для электрона в
периодическом поле, показывают, что для правильного учета трансляционной
симметрии эта линейная комбинация должна иметь вид
Хк = (2ЛГ5)-1/22е1'кГп5п_Хо (72)10)
П
(множитель N-1/2 - нормировочный). Постоянный вектор к есть не что иное,
как квазиимпульс магнона.
Энергия е(к) магнона есть разность Ек - Е0 между энергиями возбужденного
и основного состояний системы. Поэтому
(Н-Е0)Хк = е(к) Хк.
Подставив в левую сторону этого равенства выражение (72,10) и заменив
затем Е0%0 на Н%0, получим
е (к) Хк = (2NS)-'/* 2eikT" (HSn.-5П_Я)Хо. (72,11)
П
Стоящий здесь коммутатор легко вычислить, записав Я в виде
(72,6) и использовав правила' коммутации (72,4). Снова учтя
J) Нормировку функции (72,9) легко проверить, заметив, что
(§п-Хо)* (5"_Хо) = Xo5n+_Sn_Xo - <S | Sn+ Sn_ | S> =
= <S|Sn+ |S-l><S-l|Sn_|S> = 2S.
358
МАГНЕТИЗМ
[ГЛ. VII
симметрию коэффициентов Jmn, найдем
Я5"_ -5"_Я = 23'Уш" (5шг5"_-SnzSm-) + 2p$S"-. (72,12)
т
Наконец, подставив это выражение в (72,11), вспомнив (72,3) и перейдя к
суммированию по q=n-m, получим
e(k)5Ck = i5 2 yq(l_e*rQ) + 2p§Uk.
I 4=^0 f
Выражение в фигурных скобках есть искомая энергия магнона. Мнимая часть
выражения под знаком суммы, будучи нечетной функцией rq, обращается в
нуль в результате суммирования, так что окончательно
е(к) = 5 2 /"*(1-coskrq) + 2p# (72,13)
ЧфО
(F. Bloch, 1930).
Эта формула дает точный закон дисперсии магнонов в системе, описываемой
гамильтонианом (72,1). В предельном случае малых к она переходит,
естественно, в квадратичный закон:
в (к) (72-14)
q=*= 0
Точка Кюри рассматриваемой системы лежит при температуре TC~J, так что
при температурах T^>J система уже заведомо парамагнитна. При таких
температурах можно, в первом приближении, вовсе пренебречь
взаимодействием между атомами. В этом приближении магнитная
восприимчивость системы будет совпадать с восприимчивостью идеального
газа атомов со спином 5 и даваться формулой
Х=4Щ?±1> (п,щ
(см. V § 52); восприимчивость отнесена к единице объема. Это выражение
является первым членом разложения функции х(Т) по степеням 1/Т. Следующие
члены разложения уже зависят от взаимодействия атомов; определим первый
из них.
Восприимчивость (в нулевом поле) определяется как производная x=dM/dfQ
при §->-0, а намагниченность М вычисляется как производная от свободной
энергии: VM = - dF/dfe. Для решения поставленной задачи надо вычислить F
с точностью до членов ~ 1/Т3.
Исходим из формулы F = - TlnZ, где Z-статистическая сумма
г - 2 е ¦ в~'т * Е (1 - Ц-+- ф);
§ 72]
СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
359
суммирование производится по всем уровням энергии системы1). Полное число
уровней в спектре рассматриваемой системы конечно и равно числу всех
возможных комбинаций ориентаций атймных спинов относительно решетки.
Каждый спин имеет 25 + 1 различных ориентаций; поэтому указанное число
есть (2S-f-l)'v. Обозначая чертой над буквой простое арифметическое
усреднение, перепишем Z в виде
Z = (2S + l)"[l-i?+JT?:-glr?;].
Среднее значение Ет = Sptfm/(25 + 1)^. По известному свойству следа
оператора он может вычисляться по любой полной системе волновых функций;
пусть это будут функции, отвечающие всем возможным наборам ориентаций
атомных спинов. Тогда усреднение сводится к независимому усреднению
каждого из спинов по его направлениям; при этом ? = 0. Логарифмируя
теперь Z и снова разлагая по степеням 1/Т, с той же точностью получим
