Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
С(Ч, хь) e 1) <*) (- I)toH-l)/"i*(р* -Ь2р + 1,2_
5.20. Доказать, что если tj - квадратичный характер поля рд нечетной
характеристики, то в обозначениях теоремы 5.7 справедливо равенство
G Ob Хя) G ('П* Хь) = Ц(-аЬ)Я Для любых a, b? F*.
5.21. Применить квадратичный закон взаимности (см. теорему 5.17) для
вычисления символов Лежандра ^н (^f)* Определение символа Лежандра дается
в примере 5.10.
5.22. Найти все простые числа р, для которых ^^ ~ I.
5.23. Найти все степени q простых нечетных чисел, для которых
квадратичный характер tj поля Р9 удовлетворяет условию rj (3) = I.
5.24. Доказать, что квадратный многочлен хг + ах Д- b над полем Fg
нечетной характеристики неприводим тогда и только тогда, когда tj (а2 - Щ
~ ¦= -1, где rj - квадратичный характер поля Fg.
5.25. Выяснить, будет ли квадратный многочлен х2 + 12х + 41 неприводимым
В кольце F227 U1-
5.26. Пусть риг - различные нечетные простые числа и а - такое
натуральное число, что rs - 1 (mod р). Определим для целого числа к
и элемента Z,
порядка р группы F*s элемент Gk ? г s равенством
p-t
Р
с -\
где ~ символ Лежандра. Доказать следующие свойства: (i) Gh ~ Gx\
(ii) - (-1 )(р-где правая часть равенства рассматривается как элемент
ПОЛЯ Рг.
5.27. Использовать результат упр. 5.26 для доказательства квадратичного
закона взаимности (теоремы 5.17).
5.28. Пусть Яг) Я^- мультипликативные характеры поляРд. Доказать,
что еслн характер Яд. нетривиален, а характер ... тривиален, то
справедливо равенство *
J (Яь . . %h) = - Яа. (- I) J (kt, . . .,
Здесь J - сумма Якоби.
5.29. Пусть Ял, ..., - мультипликативные характеры поля Рд. Дока-
зать, что если хотя бы одни из характеров Я* нетривиален, I ^ i ^ к, то
/R (^1> kft) ~ 0.
а 6 IF q
5.30. Пусть Я*, ЯА - заданные мультипликативные характеры поля рд.
Доказать, что имеет место равенство
J] J (X, Ях, . . ЯА) ~ (q- i) Jq (Ль • • Яд.) -+- J (Я*, . . Яд.),
к
гДе сумма распространяется на все мультипликативные характеры Я поляру.
21 Зак. 222
322
Гл. 5. Тригонометрические суммы
'•М
5.31, Пусть х - нетривиальный аддитивный характер поля Рд и а, Ь1г ¦
?>k € iF'q- Доказать, что
V " th " X .. J Ал',-1 г Иб) если Ьг =. . = bkt
/ i
Ф
х (Vi -I + ькск)
о
в противном случае.
14-J
5.32. Используя соотношение (5.16) и результат упр. 5-31, дать другое _
казательство формулы из теоремы 5.21, выражающей сумму Якоби J (?ч, ?j|
через суммы Гаусса. (Указание. Показать сначала, что при стандартном
еоглйр шении относительно ф{0) (т. е. ф (0) рашю 0 для нетривиального
и,равно 1 щ тривиального характера ф) равенство (5.16) выполняется для с
- 0 и виального характера ф.) "
5.33. Использовать (5,16) и результат упр. 5.31 для доказательства след||
ющего утверждения. Пусть Х1 - мультипликативные характеры по. "Д причем
ax, ,Xk нетривиальны, а Х& тривиален. Тогда для любого негр виального
аддитивного характера % поля рф справедливо равенство
0-7)
G{Xx, х) ¦ - • G(Xk> X)*
¦h%
:;:ф
¦?/-Ы
HK*
5.34. Доказать, что если Хъ - нетривиальные мультшзликативиьйЙ
ах(tm) нетривиальный аддитивный характеры поляРд, то справедливо равенеМ'
V
1
J (Хг, . . Xfj) - - G (Xtl х) ¦ ¦ ¦ G (Л-й" X)G (Х1 . . Xk, X)
5.35, Доказать, что если Х2, Х3, Хф и АдЛз - нетривиальные муль
пликативные характеры поля Рд, то
'-..те
'Лй
Ж
• фл ¦АФ
ш
J (Xis А^) J Ag) J (А*, А3) J (AjAg, А2).
У/Ж
, >v
¦т
ch
. ' >Ъ
<4
5.36. Пусть Xlf ..., Хк - нетривиальные мультипликативные характер
поля Рд и 1 < h < k. Доказать, что если характер Хх ... Xh нетривиален,
il
J (Лх, . , ., ) */ (^т 1 ,. ., Л^) ^ (ах * - . Xfo-, Xji^i, ....
а^),
5.37. Пусть ^>3 н %л, Лд - мультипликативные характеры поля F причем Ях и
нетривиальны, а Лх ... Хц тривиален. Доказать, что
J (Ях. , . ., - (Л2 .. , I) J (Х2, , , Я&).
5.38. Пусть ф-мультипликативный характер порядка т 2 поля F а % -
нетривиальный аддитивный характер этого поля. Доказать, что
( j - qJ (ф, . . ., ф), если т делит к,
G (ф, у) - I * k \
!. G (ф , X) J (ф. . . ф) в противном случае,
mV1:.
4 Ф • • •:# ' : '"5
i
¦д •. 1*: "/'Л
где суммы Якоби зависят от k характеров ф.
5.39. Доказать, что сумма Якоби J (rj, г;), зависящая от к квадратйч*^
иых характеров rj поля Fg нечетной характеристики, задается формулой
J (1), . . ., Tj)
j (- 1)**^ ПрИ четтюм
| 1)(А'~1> (*-!)/2 ПрИ нечетном fe.
.ill:
5.40. Доказать, что если X - мультипликативный характер нечетного пот
рядка т ^ 3 поля Р9, то справедливо равенство
I S
у.
?1
Упражнения
323
5.41. Пусть к- мультипликативный характер порядка 3 поля Fg и % -
нетривиальный аддитивный характер того же поля. Доказать, что
G (к, X)3 = qJ iK к).
5.42. Доказать, что если rj и ф- мультипликативные характеры порядков 2 и
3 соответственно поля F^* и q ^ -1 (mod 6), то J (rj, ф) - q. {Указание.
Применить теорему 5.16.) .
5.43. Доказать, что если ф-нетривиальный мультипликативный, а 1) -
квадратичный характеры поля F,, нечетной характеристики, то J (ф, и) - ~
ф (4) ./ (ф, ф).
5.44. Пусть г| - квадратичный характер поля Fg нечетной характеристики, а
