Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
К (П. X; а. 6) = Ч (6) 0 (тц, х) (X (2d) + X (-2d)).
(Указание. Использовать соотношение (5.16) и теорему 5.47.)
5.86. Доказать, что если х - нетривиальный аддитивный характер поля Fv
нечетной характеристики, т| - квадратичный характер, а тр-
мультипликативный характер порядка не меиее 3 того же поля, то для а, Ь ?
TQ, b ф 0, имеет
место равенство
/с", х; а. Ь) = ^(у) ? Х(с) 0H|)(e"-4"6).
с G
5.87. Показать непосредственно, что Нх (а) - Нх (I) для любого a GF*, где
q нечетно и Нг (а) - сумма Якобсталя (см. определение 5.49). Вычислить
328
Гл. 5, Тригонометрические суммы
V 'Vb
затем сумму Нг (а) и, таким образом, получить другое доказательство
того факта, что (а) = -J для любого a t F<?- V
5.88. Пусть п ? N - нечетное число nt] - квадратичный характер поля
нечетной характеристики. Доказать, что для любого а ? F? имеет место
равеа*-||
ство
#П (й) " Г] (а) 1п (а 1) - 1,
.
y*-:k
щ
жй
где fin (а) - сумма Якобсталя, а 1п (а) определяется равенством
(5.68).
чание. Эго снова доказывает, что Нх (а) = -1 для любого a GF* )
-м
** -'f
5.89. Доказать, что для нечетного п ? N н любого а ? F?, где q нечетйр^|
имеет место равенство
hn (й) = Ч (а) Нп (й"1) + Нп (а) -г 11 (й) -
5.90, Доказать, что еслн а ? F?, где q = 3 (mod 4), то /4 (а) = -1.
5.91. Пусть р - такое простое число, что р =з 1 (mod 4). Доказать, что
М-1)
¦-'14-2Л, если р si (mod 8), 1, 1 - 2Л, если р s 5 (mod 8),
где А определяется условиями р = А2 4- В2, А, В ? Z, Л
н
л
•• * U,).\
. 3 (mod 4).
5.92.'Найти разложения в непрерывные дроби (см. рассуждение пер леммой
5.54) рациональной функции (х5 4- х3 + х2 + х)/(х6 + х5 + х4 -f xs + l;|
Щ 4 "• Л * W ч Г ' n W ¦ - • * 1 * В ^
над полем {f2 н рациональной функции (хе - ха -: х2 4- 1) над полем F3,
х4 -{- х3 - х2 - 1)/(х5 -х3
5.93. Доказать, что если многочлены Р* и Qi определены равенствами
(5.74§Й и (5.75) соответственно, то справедливы равенства
PiQi-Z - Pi-zQi 5.94. Доказать, что
Гр Pi
ri Qt
(-1 )(Ait 1= 1
% -г к
S.
deg
deg(QiQw), i = 0, 1,
1,
¦¦¦xW
чЧ-"?
* • :?'&S
:Щ:\
y4
* . ,
• ^ •'if
SJ • "'i
Hfy.
У:;;
Xm
.Llvs'
-M
Its
где Pj и Qi определены равенствами (5.74) и (5,75) соответственно.
5.95. Доказать, что рациональные функции PyQi, где Р( и Qt определе,
равенствами (5.74) и (5.75), наилучшим образом приближают рациональную!
функцию rJn в том смысле, что если fig - такая рациональная функция н
полем F?, что для некоторого i, 0 ^ i < s - 1, имеет место неравенство
й
deg
-) <deg (-
п g) \п
р.
Q,) '
то deg (g) > deg (Q*+l).
' Aim
"¦j
¦ els!
' b % • •••
'..ii . &
.Ж
Глава 6
Уравнения над конечными нолями
Мы рассмотрим здесь полиномиальные уравнения вида fl (-^lt -^n) /2
(-^li ¦¦¦> ТДе /j, /2 ? *'*t -Хд 1* Под
числом решений такого уравнения в множестве мы будем понимать число
различных n-наборов (сь ...,сп) ? FJ, для которых h (си ..., сп) = /а
(clt сп). Указанное уравнение часто представляют в следующей
эквивалентной форме: f (х 1, хп) - О, где f = /1 - /2. В некоторых
частных случаях удается указать точные формулы для числа решений, но в
общем случае приходится удовлетвориться оценками. Далее мы встретимся с
примерами результатов каждого типа.
В первом параграфе приводятся некоторые классические теоремы о числе
решений полиномиальных уравнений, такие, как теоремы Кёнига-Радоша,
Шевалле и Варнинга. Здесь устанавливаются также элементарные верхние
границы для числа решений и некоторые результаты об ожидаемом числе
решений.
Второй и третий параграфы посвящены специальным классам уравнений, а
именно квадратичным и диагональным уравнениям соответственно.
Оказывается, что очень полезным инструментом при изучении этих уравнений
являются тригонометрические суммы. Для квадратичных уравнений важную роль
в облегчении нахождения числа решений играет теория приведения
квадратичных форм к диагональному виду.
В четвертом параграфе будет продемонстрирована зависимость между оценками
для числа решений некоторых уравнений и оценками для сумм значений
характеров. Изучение уравнений вида ут ~ f (х) и уя - у - f (х) приводит
к завершению доказательства важных неравенств для сумм значений
характеров, рассмотренных в § 4 гл. 5 (см. теоремы 5.38 и 5.41). Методы,
применяемые для исследования указанных уравнений, довольно сложны, но
элементарны в том смысле, что не связаны с алгебраической геометрией и не
требуют глубокого знания теории полей алгебраических функций.
§ 1. Элементарные результаты о числе решений
Мы начнем с простейшего случая, а именно с полиномиального уравнения от
одной переменной. Пусть / ? Fg [л: J - многочлен положительной степени от
одной переменной. Рассмотрим
330
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
w
SS
ш
.v>
I
т
уравнение f (х) = 0. Решениями этого уравнения в поле Fg яв ляются все
различные корни многочлена /, лежащие в этом пол&& и только они. Как мы
видели в § 3 гл. 4, многочлен НОД (f (х хл - х) является делителем
многочлена /, все корни которощ|
