Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
(- й (•*? 2 ~Ь ' * ' "Ь Xl "Ь 0 (^2 ~ 0 ¦ ¦ • {'Xn'-d - 0
степени (n - d) {q- 1) - 1. Этот многочлен G принимает значение - 1 на
аффинном подпространстве Wx> значение 1 на W2
и значение 0 во всех остальных точках пространства FJ. Теперь положим
Н = (\~П~1) * - - (1 -/Хг1) О.
Для многочлена И имеем
deg (Я) = d fo - 1) + (п - <0 (? - 1) - 1 =
- п (q - 1) - 1 < n (g - I),
при этом И принимает значение -1 на множестве Wx Л 5, значение 1 на Л 5 и
значение 0 в остальных точках. Таким обра-
336 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
С другой стороны, на основании леммы 6.4 эта сумма равна нул| Отсюда
вытекает требуемый результат.
6.11. Теорема. Пусть /х, ..., fm € Fq ..., ]-тс А
многочлены, что d - deg (/х) 4-...4- deg (/m) < п. Если имее,
<
хотя бы один п~набор (си .сп) ? такой, что /? (clf ..." сп)
- О для всех Д I < i <: т, то число N таких п-ряет неравенству N ^ qn~d.
Доказательство. Рассмотрим два случая. В первом случае предположим, что
существует хотя бы одно аффинное подпро*
странство Wx размерности d векторного пространства fj над по-лем Fq
характеристики р, для которого \ WX П 5|^0(modpr)^ В таком случае из
леммы 6.10 мы получаем, что | W2 П 5| ^ Ф 0 (mod р) для каждого аффинного
подпространства W2t парад лельного Wu так что \W2 f\ S\^ I. Представим
теперь мно
жество S решений в f" системы уравнений Д (хь ..., xj
i ~ 1, ..., т, в виде объединения попарно непересекающнхеш
множеств*. S U (W fj S), где W пробегает все qn~d разлнчнш
w
аффинных подпространств, параллельных Wx (включая соответствующее
векторное подпространство). Тогда
я = | s I - = У | г г; n ; > ч
W
n-d
Осталось рассмотреть случай, когда | W f) S | = 0 (mod р)
для всех аффинных подпространств W размерности d векторного
*
пространства f". Так как по предположению N - | S | > 1, то существует
натуральное чнсло k, 1 < k < d, такое, что для каждого аффинного
подпространства V7 размерности k имеет место, сравнение \ V fj S| = 0
(mod /?), однако существует некоторое аффинное подпространство U
размерности k - 1, для которого | U П S|#0(modp). Зафиксируем одно из
таких аффинных подпространств V. Рассмотрим теперь все аффинные
подпространства У размерности k, содержащие U. Число таких V равно 4
ап - ak~~l "п-kM 1
1____1--- ^ 1_________ ^ ап~к ± а _U 1
я*~я^ Ц г 1 q : Ь
Для каждого такого аффинного подпространства V рассмотрим теоретико-
множественную разность V\U. Имеем
|(V\l/) n SI = IV n S| -|1/ П S 1^0 (rood/;),
1) Каждая точка а ? V однозначно определяет такое V, причем все
К V
L jC *
q -ц ~ точек из V\U определяют V. - Прим. перев.
§ I, Элементарные результаты о числе решений
337
откуда следует, что \ {V\U) f| S\ 1. Поскольку множество V и все разности
V\U образуют разбиение множества F?, то
лг = |s| = 11/ n s| + Е |(K\i/) n s|>
V
> qn~k + * * * + q -h 2 > qn~d,
так как k < d. ?
6.12. Пример. Неравенство N ^ qn~d из теоремы 6.11 опять является
иаилучшим из возможных (даже для т - 1) в том смысле, что для любых
натуральных чисел d и п, d < я, существует такой многочлен ? fg [xlt ...,
хп] степени d, что уравнение }г (хъ ...,
хп) = 0 имеет ровно c^~d решений в fj. Пусть многочлен g ? ? Fg • ¦*>*<*]
определен так же, как многочлен f из примера
6.7, но число п заменено на d. Тогда положим Д (хь ..., хп) = - g (хь
.... xd), так что переменные xd+1, ,..дп не входят явно в /х. Теперь тем
же способом, что и в примере 6.7, можно показать, что fi (с1( сп) - 0 в
том и только том случае, еслн сх ~ ... ... - сй - 0. Поскольку при этом
cd+1, сп могут быть любыми элементами поля Fg, то уравнение Д (xlt ....
хп) = 0 имеет ровноqn~d
решений в fq. ?
Нетрудно также найти некоторые элементарные верхние границы для числа
решений уравнения f (хи хп) - 0. Следующий
результат можно рассматривать как обобщение известной теоремы о том, что
многочлен от одной переменной степени d 0 имеет не более d корней (ср. с
теоремой 1.66).
6.13. Теорема. Пусть f С Fq [^ь -¦ многочлен степени d ^ 0. Тогда
уравнение f (хи ..., хп) = 0 имеет не более dqn~l
решений в FJ.
Доказательство. Если d = 0, то многочлен f является ненулевой константой,
и результат тривиален. Если d = 1, то уравнение
/ (xlt .. -, хп) = а^х + * - * + апхп -|~ Ь - 0
имеет qtt~l решений в [FJ, так как по крайней мере один из коэффициентов
at отличен от 0, так что соответствующая переменная xt однозначно
определяется значениями остальных переменных (которые можно задавать
произвольно). Результат, очевидно, верен и для п ~ 1.
Таким образом, теорема верна в случае, когда d с 1 или rt - 1. Далее
будем продолжать двойной индукцией. Пусть п > I, d > 1 и результат
справедлив для ненулевых многочленов не более чем от п переменных
степени, меньшей чем d, а также для ненулевых многочленов меиее чем от п
переменных степени, не
22 Зак, 222
338
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
превосходящей d. Докажем, что результат справедлив для произвольного
многочлена / (xit хн) от п переменных степени d, Рассмотрим два случая.
