Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
которых определено значение R (с); см. Bombieri [4], Елистратов [7],
Перельмутер [11, [2], [9] н Степанов [5]. Гибридные суммы с рациональными
функциями изучались в статьях Mordell [27] и Перельмутер [I], [2], [9];
такие же и даже более общего вида суммы появляются в статье
Williams К. S. [20].
Кратные суммы Клостермана (или гиперсуммы Клостермана) были введены
Морделлом (Mordell [14]). В нетривиальном случае они имеют внд
Кг ? X (ад "г * * ¦ + аТсГ + ЬсГ1. . - сГ1)"
где х- нетривиальный аддитивный характер поля a at, ...
.... аГч b ? FJ. В статье Mordell [14] доказана оценка | Кг |
для случая, когда q-простое число; см. также Carlitz [100]
314
Гл. 5. Тригонометрические суммы
-т
ЪУ>
Ш
т
и Smith R. А. [4]; некоторые улучшения для частных случае получены в
работах Carlitz [100], [108]. Окончательная оценк
|*г|<(г+ 1)^
установлена Делинем (Deligne [4 ]). Это, безусловно, являете прямым
обобщением теоремы 5.45. В работах Katz [4, ch. 2, 5 и Serre [3 ]
обсуждаются предпосылки доказательства Делинщ Бомбьери (Bombieri [7 ])
получил границу того же порядка рост 5 (относительно q)% использовав'лишь
предварительные результату из статьи Делиня Deligne [4]. О дальнейших
результатах по крат ным суммам Клостермана см. работы Carlitz [100],
[113], Kut zko [1 1, Lehmer, Lehmer [4], McElieee, Rumsey [1 ] и Sperber
[2 L Кратные суммы Клостермана для факторколец Z!{т) были paej смотрены в
статьях Carlitz [98], Smith R. А. 13], [4], [5] и Weia' stein [1 ]. О
гибридных кратных суммах Клостермана см, Df ligne [4], Katz [4, ch. 5] и
Mordell [26], [31 ]. Кратные тригонсЦ! метрические суммы с другими
рациональными функциями ра$|| сматривались в работах Carlitz [113], Katz
[4, ch. 5], Lehmegjj Lehmer [1], Mordell [10], [27], [28], [31 ] и
Sperber [1], ВД11 Суммы Клостермана для невырожденных матриц над конечны^
полями рассмотрены в статье Hodges [6], для кососимметриЭД ских матриц-в
статьях Hodges [8], [25], для симметричен и эрмитовых матриц-в статьях
Hodges [3], [10], [17].
Теорема 5.48 была доказана Якобсталем (Jacobsthal [1], [S для конечных
простых полей. О приложениях формулы из эт теоремы см. Hall [8, ch. 14] и
Lehmer D. Н. [8]. Суммы Н и 1п (а) были впервые изучены Якобсталем
(Jacobsthal [1 ], [2 главным образом, для случаев п - 1 и п = 2.
Различные ства, связывающие эти суммы, были получены в работах Evans El],
Lehmer Е. [4], von Schrutka [1 3, Whiteman [6] Постников и Степанов [1 ].
Суммы Якобсталя вычислялись для ; больших значений п, часто одинаковым по
существу способом*^ именно путем определения числа решений уравнений у2 -
хп ,-Н **" в поле Fq; так, для нетривиального случая, когда п - 4, а ^ ид
- простое число, это было проделано еще Г ауссом (Gauss [3 О дальнейших
результатах см. работы Brewer [2 3, Chowla S. [ Davenport, Hasse [1],
Evans [2], [3], Hasse [15, ch. 10], son, Williams [1], Ireland, Rosen [1,
ch. 11], Lehmer E.
[4], [71, Leonard, Williams [7], Morlaye [2], Rajwade [3]
Singh, Rajwade [11, Whiteman [3], [6], Williams K. S. и Андрианов [1 ],
причем особенное внимание следует обратит; на работы-Berndt, Evans [1],
[2], которые содержат полну информацию по данному вопросу. Некоторые
сравнения по дулю р для значений сумм Якобсталя для простого поля jFp
установлены в работах Lehmer Е. [6], Nashier, Rajwade И Whiteman [6].
Якобсталь (Jacobsthal [1]) доказал для елуШ
щ т
Комментарии
315
простого поля fp неравенство \Н2(а) \ <2/W2, а Човла (Chowla S. Ш ])
показал, что в нем как постоянный множитель, так и показатель являются
наилучшими возможными. Нижняя граница для числа шах | Ип {а) | была
установлена Постниковым и Сте-
Пановым f I ]. Нижние границы для абсолютных величии сумм Якобсталя можно
также получить из нижних границ более общих сумм значений характеров с
полиномиальными аргументами (см. комментарии к § 4). Для простых полей Fp
Карацуба [9] показал, что равенство 1п (а) - р возможно для а ? FJ* а
Постников и Степанов [! ] показали, что равенство Нп (а) - р - 1 возможно
для а ? FJ, в обоих случаях при условии, что п имеет порядок роста p/log
р.
Теоремы 5.5! и 5.52 показывают, что суммы Якобсталя тесно связаны с
другими классическими тригонометрическими суммами, например такими, как
суммы Якоби; см. также Berndt, Evans fl 1, Lehmer E. [7 ] и Singh, Raj
wade [1 ]. Связь между суммами Якобсталя и так называемыми суммами
Бревера рассматривается в статьях Berndt, Evans [2], Giudici, Muskat,
Robinson [1], Robinson S. F. fl } и Whiteman 113], E14], [15]. Обобщенные
суммы Якобсталя, т. е. суммы вида
? %(с)$(сп -\~а),
с ? IF р
где X и tjj - нетривиальные мультипликативные характеры простого поля -
Fp, рассматривались в статье Walum 11 ]. Двойные суммы Якобсталя
появляются в статье Lehmer, Lehmer [1 3.
Применение сумм Якобсталя, описанное в примере 5.53, содержится в статье
Jacobsthal [2]. Доказательства того же результата имеются в работах
Berndt, Evans fl ], Burde [4], Chowla S. [16, ch. 4l, Hasse [15, ch. 10]
