Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
И. М. [4]. В теории чисел широко изучались и другие типы задач о
распределении квадратичных вычетов и невычетов; см., например, работы
Ankeny [1], Brauer А. [2], Burgess [1], Davenport, Erdos [1], Dorge [1],
Elliott [2], Hua [12, § 14], Hudson R. H. [2], [3], [5], Perron [1],
Salie [3], Виноградов И- М. [31, Гельфонд и Линник [1, гл. 9] и Усольцев
[11. О геометрическом подходе см. Raber [1 ] и Ralston [1 ]. В связи с
вопросами, затронутыми в упр. 5.65 и 5.66, см, работы Burde [1 ], [3],
[71, Davenport [2], [7], Janichen [1 ], Koutsky [2], Виноградов И. М.
[6], [11], Мороз [1] и Сегал [1 ]. Брауэр (Brauer А. [1], [3]) доказал,
что если заданы целые числа т, h ^ 2 и комплексный корень /n-й степени из
единицы е, то для достаточно больших простых чисел р, сравнимых с 1 по
модулю т, и для любого мультипликативного характера ф порядка т поля Fp
найдется элемент с С Гр, для которого ф (с + 0 - е при всех / = 0, 1,
...
..., /г - 1.0 близких результатах по распределению значений
мультипликативных характеров, а также по распределению степеней по модулю
р или степеней в конечных полях см. работы Bier-stedt, Mills [1 ], Brauer
A. [4], [5], Brillhart, Lehmer, Lehmer [1 ], Burgess [4], [6], [10],
[11], Chowla, Chowla [2], Dunton [2], Elliott [1 ], [3], [4], [5], Graham
[1 ], Hua [12,§ 14], Hudson R. H. Hi, [4], [5], [6], Jordan J. H. [1],
[2], [4], [5], Lehmer, Lehmer [2 ], Lehmer, Lehmer, Mills [1 ], Lehmer,
Lehmer, Mills, Selfridge [1], Metsankyla [1], Mills [2], Montgomery [1,
ch. 13], Norton [2], [3], [4], [5], [6], Rabung, Jordan [1], Singh [1 ],
15], Stephens [2], Stevens H. [1], Stevens, Kuty [1], Wang Y.
318
Гл. 5. Тригонометрические суммы
ж
щ
1 5v43-Vf **$
[31 Whyburn [i ], Бухштаб [1], Виноградов И. М. [2], [%.щц [7]t 19] и
Гельфоид, Линник [1, гл. 9]. Комбинаторные свойств^ подгруппы группы FJ,
состоящей из m-х степеней, рассматр% ваются в работах Cameron, Hail, van
Lint, Springer, van Tilf borg [! ], Evans 15], Muskat, Street [! ] и
Street, Whitehead [1]|| Тригонометрические суммы, аргументами которых
являются} линейные рекуррентные последовательности, рассматриваются в § 7
гл. 8.
[В работе Naranjani [1* ], продолжающей аналогичные исслс| дования
Бёрджесса (Burgess [6]), изучается распределение сте|; пенных невычетов
по простому модулю в полиномиальных пей следовательностях. В работах Hinz
[1* j, [2*], [3*], [4^ ] изрЦ чается распределение примитивных элементов
по модулю npof стого идеала в поле алгебраических чисел. Распределение
последе||| вательных квадратичных вычетов и невычетов исследовалоеЦ
Хадсоном (Hudson [!*], [2*]). распределение значений симводЩ^ Лежандра в
конечном поле исследовалось в работе Guerra,
[1* ]. Коэн (Cohen [2* ], [3* ], [4* ]) исследовал вопрос о делении
примитивных элементов и степенных вычетов, а танзя$р пар последовательных
примитивных элементов (т. е. отлича$$| щихся на I) среди значений
многочлена над конечным поле^| В работе Loxton, Vaughan [1*] получена
оценка рацион а льн$Г
Я ' -¦1Ж
ш^т ? У !srV^W
? e2nif (*)/?
"0^|~з/(е+]))( где^-максимальная кратность комплексных ней многочлена Г
(х), и тем самым доказана гипотеза, занная в работе Loxton, Smith [1].
Стечкин 11*] получил суммы Гаусса
т
ini* {?¦%
.V •*'
тригонометрической суммы с многочленом
т
М
^ g2n iaknjq *=]
-<ехр (,с [ц/ф {ri)f) ,
.¦ !/$#
у, .3
• СС
абсолютная постоянная
где ф (п) - функция Эйлера, с > 0 -
НОД (a, q) = 1. Митькин [2*] получил уточнение оценки Ло-гена [12] для
рациональных тригонометрических сумм, ко(r) торые близки к полным суммам.
Шмидт (Schmidt W. М. [1*1* [2* ]) подробно исследовал тригонометрические
суммы с кубиче* скими многочленами. Степановым в работах [1* ], [2*],
[4*1 получены новые оценки кратных тригонометрических сумм на
алгебраических многообразиях, обобщающие полученные ранее оценки Бомбьери
(Bombieri [4]) и Перельмутера [9] на случай составного знаменателя
тригонометрической суммы. В работе Heath-Brown [1*] показано, что аналог
оценки Делиня (Deligne [3]) для рациональных тригонометрических сумм со
знамеиате* лем р2 может быть получен иа основе довольно элементарных №
ображений. В работе В. Шмидта (Schmidt W. М. [3*3) получен!
а
1
•' ГуХ1.1
'fa
'Ш
W
¦чщ
¦Щ
>,:и\
ш
< i>-s,
¦Щ
м
j • ш
V" <
' • :
Упражнения
319
оценка кратной тригонометрической суммы с многочленом и с простым
знаменателем для случаев, ие охватываемых оценкой Деяния (Deligne [3]).
Одони (Odoni [1* ], [2* ]) перенес статистический подход, примененный им
ранее к суммам Вейля (см, Odoni [1 ]) на случай других сумм.
По тематике пятой главы имеются также следующие работы: Breinser [I*],
Cohen [1*], Cohen, Lenstra [I*], Exponential-summen (Kloosterman*sche
Summen), Goldfeld, Sarnak [I*], Hudson, Williams [1*], Monzingo [1*1,
Ozeki [1*], Sijvaramak-rishan, Vijavan [1*1, Tietavainen [I*], Архипов,
Карацуба, Чубариков [1*1, [2*1, Архипов, Чубариков [I*], Бронштейн [Г*],
Голубева [I*], Глазунов [1*], Елистратов [1*], [2*] Карацуба [1*1, [2*],
