Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
просты, причем это в точности все различные корни многочлена
лежащие в Поэтому число решений уравнения f (х) в поле равно степени
многочлена НОД (/ (х), & ~ х). Что
&
касается фактического отыскания этих решений, то мы отсылаем читателя к §
3 гл. 4.
Для определения числа решений уравнения / (х) - 0 в поле можно также
использовать теорию матриц. Поскольку вопрШ о том, является ли нуль
решением этого уравнения, выясияеТЙЦ тривиально, то достаточно
рассмотреть лишь ненулевые решений! этого уравнения. Этими решениями
являются корни многочлена! НОД (/ (х), хл~х - 1) (все они различны и
принадлежат полю Поэтому мы без ограничения общности можем считать, deg
(f) -< q- 1. Кроме того, поскольку r= 1 для
FJ, то ненулевые решения уравнения
" $0 Н ' ' ' "Г" 4" "¦= 0
Vi
ж?
•га
Г I ^
что
V4*SV,
:<Ai
элемента Ь ?
/о
Ш,
' •• \' ЧЛ:
•Ч"-Щ ч сто.
.С5 AW 0#
в поле fq совпадают с ненулевыми решениями уравнения
(ай + -h %х -Ь
(*а-
О
-<г-
ц-i; \ I j
в поле Таким образом, можно даже предположить (без ничения общности), что
deg (/) ^ q - 2.
Рассмотрим теперь многочлен
f (х) = а" + агх + * • ¦ + а(,гх<}~2 ? F Дх].
Сопоставим с этим трицу порядка q -
многочленом
1:
следующую квадратичную
а
А
а-
а1
а"
а
q-3
aq-z
а
о
а
Ч~*
ай
а
q-i Mq-3
Такая матрица называется левой циркулянтной матрицей; в ней каждая строка
получается из расположенной над нею циклическим сдвигом на один элемент
влево.
6.1. Теорема (теорема Кёнига-Радоша). Пусть
/ (х) - - g0 -j- Q\X
-••t- * # "
Г"
€ F"M-
.Mi*
Тогда число равно q - 1 лой (6.1).
ненулевых решений - г, где г - ранг
уравнения f (х) ~ 0 в пом матрицы Л, заданной
<i
ч-
• ^ s .i < ft5
. -P s.yfcrv
>?$ V~-'
§ 1. Элементарные результаты о числе решений
331
Доказательство. Пусть blt ..., 6^1-различные элементы группы (FJ;
образуем из них матрицу Вандермонда
В
1
ь\
1
ьг2 ы2
1
... ^д-1
ь\ ... [
bq-2
Учитывая, что М-1 - 1 для каждого 6 ? (PJ, получим
АВ =
НЬ)
ьт' / (fti)
br2f(b.)
f(bt)
bT'i (Ьг) bj2f (b2)
- / (Vi)
bq-[f (bq-l)
)
67(,-2,/(bl) ¦ ¦ • Cr27(b,-.)
Если N - число ненулевых решений уравнения f (х) = О в поле Fg( то можно
считать, что, во-первых, N ^ q - 2 (случай N = q - 1 возникает лишь если
А - нулевая матрица с г ~ 0) и, во-вторых, что элементы упорядочены таким
образом, что f (Ь^ ф 0 для 1 < t < ? - 1 - N и f (bi) - 0 для q - N -< <
i q - 1. Тогда элементы в последних N столбцах матрицы АВ все равны 0.
Следовательно, ранг матрицы Л Б не превосходит числа q-1 - N. С другой
стороны, главный минор порядка q - 1 - N матрицы АВ равен
f (^l) • • - / (bq-l-N)
1
b
-2
1
ьт1
* *
* * *
1
bql\-N . - 2
.--2-Лг) h~(q~2 ~N) *-(q~2-N)
v\ 02 ... -Л/
и потому он отличен от нуля (поскольку выписанный определитель
Вандермонда образован различными элементами frf1, ...
Ь^1_д?). Следовательно, ранг матрицы АВ равен q- 1 - N. Но матрица В
невырожденна ввиду того, что все элементы Ьъ -. ¦* bq~i различны. Поэтому
матрицы А В и А имеют один и тот же ранг. Итак, мы получаем, что г = q -
1 - N, или N = q - 1 - г.
О
332
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
6.2. Пример. Пусть f (х) = да соответствующая матрица
= 3'+* - 3ri + 2ri С F7 1x1 То* А имеет вид
А -
3 1 3 2 0 0
1 -3 2 0 0 3
3 2 0 0 3 1
2 0 0 3 1 3
0 0 3 1 -3 2
0 3 1 "з 9 Л* 0.
поле
Щ
'">г?
ее ранг г равен 6. Таким образом, по теореме Кёнига уравнение f {х) =0 не
имеет ненулевых решений в А поскольку и нуль, очевидно, тоже не является
решением этого уравнения, то уравнение f (х) ~ 0 вообще не имеет решений
^ в поле F7- Другими словами, многочлен f (х) неприводим над полем F7.
Перейдем теперь к многочленам от нескольких переменных* Некоторые
элементарные результаты о числе решений уравнен
ния { {хи хп) = 0 в Fg удается установить для случая,
когдД
число п переменных больше степени многочлена f (степень много-
члена от нескольких переменных вводится определением 1.72)
6.3. Лемма. Пусть к - целое неотрицательное число.
к - 0 или к не делится на q & > 0 и к делится на q
"•ч8
т
•;->м
,w>.
М.
i?
Тогда
О,
с
если
если
? * =
С ^ F q
Доказательство. При
U
1.
¦т
¦ш
к - 0 применяем стандартное
.о
шение 0° = 1; тогда утверждение тривиально/ 2 с
WiFg
Если к Е N и к делится на q - 1, то для любого с ? Fg
согла* Щ
,i.ifi
Jt
С'
Е
ск
1
1.
имеем
Наконец, при
¦ ч
mq унт
уф
да
ЧП:&
1, так что
"€irff се fg
к ? не делящемся на q- 1, выберем в поле F? примитивный элемент Ь. Тогда,
применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем
= ? 6/* = ? (6*)/ = = 0. ?
i -0 /=0
'Ж
bk- 1
я
6.4. Лемма. Пусть / ? Fg [хи хп) - многочлен степени
меньшей чем п (q - 1). Тогда
Щ
пт
§ t. Элементарные результаты о числе решений 333
Доказательство. Учитывая линейность, это равенство достаточно доказать
для одночлена x{L ... Хп11, где k\ + ... + kn < < п (q - 1). Из
указанного неравенства вытекает существование такого /, 1 < / < п, что 0
< k} < ц - 1. Поэтому
? &...& = ( ? с>\... ( ? 4"\ = 0
