Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
[4*], [5*], [6*], [7*], [8*], [9*], Кузнецов [1*], 12*], [3*], Митькин
[4*], Перельмутер [1*], [2*],
Постников [1*1, Постникова [1* ] и Чубариков [1*], [2*], [3*].- Tie рев.]
Упражнения
5.1. Пусть G -- конечная абелева группа, Я - ее собственная подгруппа и g
Е G, g ф И. Доказать, что существует характер % группы G, который
аннулирует Я, но для которого % (g) Ф 1.
5.2. Пусть Я - подгруппа конечной абелевой группы G. Доказать, что
аннулятор А подгруппы Я в группе характеров группы G изоморфен
факторгруппе G/Н и что факторгруппа G^/A изоморфна подгруппе Я.
5.3. Пусть G - конечная абелева группа и m ? N. Доказать, что элемент g б
G является m-н степенью некоторого элемента группы G в том н только том
случае, еслн % (g) ~ 1 для всех характеров х группы G, для которых %т -
тривиальный характер.
5.4. Пусть Glt Од. - конечные абелевы группы. Определим умножение
наборов (gp ..., gk) н (hv ..., /tfe), где g., hi ? G. для 1 ^ i ^ k,
равенством
(^i* ¦ ¦ ¦• gfe) (ЛХ1 ¦ ¦ ¦* hk)~{gxhv , . ., gKhhy
Показать, что относительно этой операции множество всех таких fe-наборов
является конечной абелевой группой (она называется прямым произведением
групп Glt ..., Gk и обозначается 6^ (r) ... (r) Gk). Доказать затем, что
соответствующая группа характеров (Gj <gi ... (r) Gft)"'4 изоморфна прямому
произведению
Gp <g> ... (r) Gk -
5.5. Применив структурную теорему о конечных абелевых группах, которая в
своей простейшей форме утверждает, что каждая такая группа изоморфна
прямому произведению некоторых конечных циклических групп, доказать, что
группа характеров G^ конечной абелевой группы G изоморфна G.
5.6. Показать, что если %а - аддитивный характер конечного поля IF? (в
обозначениях теоремы 5.7), то %а%ь - %а+ъ для всех а, b ? F . Показать
таким
способом, без использования унр. 5.5, что группа аддитивных характеров
поля [F^ изоморфна аддитивной группе этого поля.
5.7. Пусть Хх - канонический аддитивный характер конечного поля [F^
характеристики р. Доказать, что Xi (сР0 ~ Ул (с) Д-ля всех с ? IF? и / ?
N.
5.8. Пусть ф~~ мультипликативный характер порядка т конечного поля [F^s,
гдет, s ^ N. Доказать, что ограничение характера ф на поле [F^ является
мультипликативным характером порядка m/НОД (т, (gs - !)/(<? - 1)) поля
Fq.
¦Ш
320
Гл. 5. Тригонометрические суммы
-я*
ж
. * 'Л,/с
5.9. В обозначениях упр. 5.8 доказать, что ограничение характера ф иа
является тривиальным характером поля FgB том и только том случае, когда
делит число (ps - 1 )/(д - 1).
5.10. Пусть ф-мультипликативный характер поля Fg, н пусть ф' - поднятие
до расширения [F s поля F (определение поднятия характера
4 4 ' S
в рассуждении, предшествующем теореме 5.14). Доказать, что ф (с) - ф (с)
любого с ? F*.
5.11. Доказать, что мультипликативный характер т ноля F я совпа"_,,..,
д
с поднятием ф' некоторого мультипликативного характера поля Fg тогда и
тольщ.
тогда, когда - тривиальный характер.
5.12. Пусть т ? SSI, q ы 1 (mod т) н ф пробегает множество всех мультй|
пликативных характеров пат я Fд, порядки которых делят т, Доказать, что
этом соответствующее поднятие ф' до расширения F " поля F пробегает
Я Ц
ство всех мультипликативных характеров патя F s> порядки которых делят
5ЛЗ. Доказать, что аддитивный характер % конечного расширения Е поля
совпадает с поднятием некоторого характера поля Fg тогда и только тогда,
крг^Г| он имеет вид % ~ для некоторого b ? F , где рг - канонический
аддитнвщЩ^
Л ..a '..Ci
ё
i-X
т
характер поля Е (определение характера см. в теореме 5.7). 5Л4. Пусть Tq
- конечное поле. Доказать, что если с ? F
*
я
ю
а | (9-1)
Ф(^)
'ill
го
#• *"!
•&Ч
S3
1
<Р(? - 0*
о
если с - примитивным в противном случае,
элемент
Г
т
ъ
Я
№
г т
ш
где во внешней сумме d пробегает все положительные делители числа q
а во внутренней ф^ пробегает tp (d) мультипликативных характеров порядка
поля Fg. Здесь jit обозначает функцию Мёбиуса (см. определение 3.22), a f
- функцию Эйлера (см. теорему 1.15 (iv)).
5Л5. Показать, что ц (2) ~ (- I)<"я 1 )/sf где г] - квадратичный характер
поля Fq нечетной характеристики (определение ^ см. в примере 5.10).
5.18. Пусть Fg- конечное поле характеристики р и г ? М. Доказать, что':|1
в обозначениях теоремы 5.7 для любого мультипликативного характера фполя
Fg,1|
и любого b ? F^ имеет место равенство G {фРг, %ь\ = G (ф, %р где р (&) J
~ ЪрГ. Здесь G - сумма Гаусса. у|§
5Л7. Доказать, что для любого мультипликативного характера ф поля ЩЩ
справедливо равенство
S о (ф, X) =
х
0,
* t.G'J
гл
где % пробегает множество всех аддитивных характеров поля Fg.
5.18. Доказать, что для любого аддитивного характера % поля Fg спра*.|
ведливо равенство
S0"' X) = <?-!) Х(>).
Ф
где ф пробегает множество всех мультипликативных характеров поля Fg.
Упражнения
321
5.19. Пусть s ? М, q - ps, где р - простое нечетное число, и tj -
квадратичный характер поля Fg. Доказать, что если %ъ (b ? F ) -
аддитивный
характер поля рqi определенный в теореме 5.7, то справедливо равенство
