Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
'1 с" е F, \ <=, € F, / U" € F,
в силу леммы 6.3.
6.5. Теорема (теорема Варнинга). Пусть / ? Fg Hi, . . .
..., хп 1 - многочлен от п переменных степени, меньшей чем п. Тогда
число решений уравнения f(xx, жп) = 0 в F? делится на характеристику р
поля FQ.
Доказательство. Рассмотрим многочлен F - 1-который обладает тем
свойством, что F (cXl ..., сд) - 1, если
/ (п, сп) = 0, и F (си ..., сп) - 0, если / (сь ..., с") =? 0. Гогда
Е F (сх, .. сп) = У, (6.2)
?
где У - число решений уравнения / (жь ..., хп) - 0 в f". С другой
стороны, из условия deg (/) <п следует, что deg (F) < < п (q- 1), поэтому
из леммы 6.4 вытекает, что сумма в (6.2) равна нулю. Следовательно, число
У, рассматриваемое как элемент поля Ff/, равно 0, а это и означает, что N
делится на р. ?
6.6. Следствие (теорема Шевалле). Пусть f С Fg Ui,
¦ ¦лХл] - многочлен степени, меньшей чем я, причем/(0, ..., 0) = 0-Тогда
уравнение f (хь ..., хп) - 0 имеет хотя бы одно нетривиальное решение в
FJ, т. е. существует такой п-набор (сь ..., сп) ? ? (и, ^п) 7^
(0, 0), что j1 (ci, ..., сл) - 0.
Доказательство. Из условия /(0, 0) = 0 следует, что
число N решений рассматриваемого уравнения удовлетворяет неравенству N
Применяя теперь теорему 6.5, получаем,
что N > р > 2. ?
Заметим, что условие deg (/) < п в теореме 6.5 и следствии 6.6 является
наилучшим возможным. Сейчас мы построим такой многочлен степени п от п
переменных, для которого утверждения теорем Варнинга и Шевалле не
выполняются.
6.7. Пример. Пусть п С IN. и пусть {ось - базис
поля Е - (как векторного пространства) над F . Положим
i'}
334
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
- •'/ А •• *>
я
Так как элементы af
j = 0, 1,
п
1ПЦ8:
<>v
- 1, сопряжены с аг огней* сительно fg (см. определение 2.17), то
коэффициенты многочлена^ принадлежат полю fq. Ясно, что deg (/) = п. Для
произвольного!
n-набора (сь Тогда
сп) € Fg положим у = +
f Л |
? В
-S-.S
/(с.
¦
I
г Cl
<4
/
с
п)
п-1
П yq! N?/r (y).
ш
< П. . .V?-
I V
' f '
.if*.!
-fm
¦ ;l f j.
•
: ж Л
л-1
= П("
/=0
^ П (CiOti /=0
Таким образом, равенство / (сг, сп) = 0 эквивалентно равец§| ству N^jp
(у) = 0; последнее же имеет место лишь для
мента у = 0, т. е. при сх ~ ... = сп - 0. Это значит, что нение / (хь я")
- 0 имеет единственное решение (0,
Ж
f 1Й
М'
шМ
Щк
Ш
ж
./7 у е о
-rtf
ы
в fj. Отсюда следует, что для многочлена f не выполняются утверждение
теоремы 6.5, ни утверждение следствия 6.6.
Теорему Варнинга и теорему Шевалле нетрудно распростр#| нить и на системы
уравнений. (tm)
6.8. Теорема. Пусть /ь ..., fm ? fq [деь хп] - "щщщ
многочлены от п переменных, что deg (А) -К..+ deg (/m) <-Щ?
Тогда число п-наборов (сь с.п) ? f", для которых ft (clt
..., сп) = 0 при всех г, 1 < г < т, делится на характеристику ят поля Fq
•
;:>ТР"
• .'•-SsC^o
(1 - ЯГ1)
<^•<11. ,г
\>h
F то же самое доказательств*!
¦Ж
ш
ш
<к
:
щт
Доказательство. Положим
f = (i -г')
и проведем для этого многочлена что и в теореме 6.5.
6.9. Следствие. Пусть fu fm ? Fq 1хъ j - такт
многочлены от п переменных, что h (0, ..., 0) = 0 для всех 1 < / < т( и
deg (Д) +...+ deg (fm) < п. Тогда существуеЩ
ненулевой п-набор (сь ..., сп) ? Fg. такой, что ft (clt сп) = для всея С
1 < i < m.
В теореме 6.11 мы покажем, что если в условиях теоремы 6 соответствующая
система уравнений имеет по крайней мере одно решение, то она имеет
гораздо больше решений. Предвари тельно введем некоторые обозначения и
понятия. Пусть S'-
множество таких rt-наборов (сг, сп) ? Fg, что ft (сь сп)
= 0 для всех i, 1 < i < т. Будем через | Т | обозначать мощ* ,щ ность (т.
е. число элементов) конечного множества 7\ так что,.^
например^ | S | - число решений в Fg системы уравнена
/ 5. Щ
Ж
ж
•,;м •л: г N
•'if
-'ь
'Щ
щ
'¦г Г ¦?/{¦
¦т
•ЛУ?
ж
§ I, Элементарные результаты о числе решений
335
ft {хи ^п) = i - 1, ..., т. Напомним (см. § 4 гл. 3) понятие аффинного
подпространства векторного пространства, под которым мы понимаем сдвиг
некоторого подпространства этого векторного пространства. Под
размерностью аффинного подпространства по определению понимается
размерность соответствующего подпространства. Два аффинных
подпространства назовем параллельными, если они получаются сдвигами
одного и того же подпространства.
6.10. Лемма. Пусть выполнены условия теоремы 6.8. Если Wx и W2 - два
параллельных аффинных подпространства размерности d = deg (/,) -К..+ deg
(/щ) векторного пространства FJ над полем F^ характеристики р, то
|ГХ Л S| == |Г2 Л 51(modр).
Доказательство. Случай Wx - тривиален, так что можно предположить, что Wx
Ф W%. Произведя соответствующим образом подобранное невырожденное
линейное преобразование (которое не может изменить степени многочленов
/(), мы можем добиться, чтобы аффинные подпространства Wx и W2
определялись условиями
= {(Сь . . ., Сп) ? Tq С\ - С% = * - * = Cn-ct ~ 0},
W<2 = [(Ci, ..., сп) ? F? С\ ~ 1, Сг = * ¦ ¦ ^ cn-d - 0}. Рассмотрим
многочлен
G Хп) -
