Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
ф-такой мультипликативный характер этого поля, что характер ф*
нетривиален. Доказать равенство
j (ф* ^ ^ ^ j ^
воспользовавшись теоремой 5.28.
5.45. Доказать, что если характеры фи г\ те же, что и в упр. 5.44, то J
(ф, ф*1) ^ ф (4) J (ф2, ф2).
5.46. Доказать, что если rj - квадратичный характер поля Fg нечетной
характеристики и ф - мультипликативный характер порядка не менее 3 этого
же поля, то справедливо равенство
ф (16) J (ф, ф) = Г] (-1) J (фт), фг]).
5.47. Доказать, что еслн характеры ф и rj те же, что и в упр.
5.46, то
J (ф, фт1) = ф (-4) J (ф, ф).
5.48. Пусть ф- мультипликативный характер порядка 4 поля Fg,
где
q = 1 (mod 4), и т] - квадратичный характер этого поля. Доказать, что J
(ф,
ф) = ф (-1) j (ф, п).
5.49. Пусть А, - мультипликативный характер порядка 3 поля Fg,
где
q = 1 (mod 3). Доказать, что J {k, X) ~ А + Вт, где А, В ? Z, А ~ - 1
(mod 3), В - 0 (mod 3) и е> - комплексный первообразный корень третьей
степени из единицы. (Указание. Применить теорему 5.27 й использовать
сравнения в кольце целых алгебранческнх чисел.)
5.50. Пусть к -' мультипликативный характер порядка 4 простого поля Fg,
где р = 1 (mod 4). Доказать, что J {&, V) - A -f- Bi, где Л и В -
целые числа,
такие, что Л2 + В2 = р, причем А = -1 (mod 4).
5.51. Доказать, что каждое простое число р вида р = 1 (mod 3) можно
представить в виде р = А2 - АЗ -f В2, где А, В ? Z.
5.52. Для тех же мультипликативных характеров к и ф, что и в теореме
5.28, доказать, что если число m нечетно, то соотношение Дэвенпорта-Хассе
(см. теорему 5.28) эквивалентно равенству
J (ф, фА,, . . ., фА/"-1) = ф (rnm)^(m"'^2.
5.53. Пусть х - аддитивный характер поля Fg, а ф -¦ мультипликативный
характер порядка т этого поли. Доказать, что
О (Ч>, Х)т = Л0 + АА + ¦ ¦ • + АтЛт~\ где А0, Аг, .... Am^i ? Z, а ? -
комплексный первообразный корень т-й
степени из единицы.
5.54. Доказать, что если а, Ь ? Fg, а Ф b, и ф- нетривиальный
мультипликативный характер поля Fq, то
2 ф(с + й)ф(с + й)*= -1.
<€Fq
21*
324
Гл. 5. Тригонометрические суммы
*16
5.55. Пусть ф- нетривиальный мультипликативный характер поля F*J и пусть
5 - произвольное подмножество в Fg, состоящее из h элементов. До. зать,
что
?
Е ф (с + а) 2
а ? S
= h (q - к).
т
5.56. Пусть Xlt Х2, Х3 -- нетривиальные мультипликативные поля Fg и аи а2
? Fq, % ф аг. Доказать, что
О
'¦'¦Я;'
Е ^1 (с + ai) ^2 (с 4" #а) ^ (с 4~
С ? Fg
( q2 - Зд, если - нетривиальный хзракт \ ql - - 1, если Х-^-
тривиальный характер/.ц;
Ш
¦¦ й|г:
у
. -Х-ш
¦т
5.57, Пусть ф- мультипликативный характер порядка т>1 поля и а ? F(г
Доказать, что
!
А*
:?Я
'V&t
#4
I) t(a)}
если m делит n, в противном случае
¦м
""Ч
>м
• щ ¦ !ф.
5.58. Пусть п ? Ы, а, Ь ? Fg и ф -- нетривиальный мультипликативн
характер поля Fg. Доказать, что
rf-J
2 (асп -г Ь) ^ ф (6) 2 к} (a) Xj (- b) J (>J, ф),
C?Fq 1-1
где X - мультипликативный характер поля Fg, имеющий порядок d ~ НОД q -
1).
5.59. Доказать, что если т] - квадратичный характер поля Fg, q - 3 {mod и
/ ? Fg [jc] - нечетный многочлен (т. е. / (-х) ~ -/ (х)), то 2 Л (/ =s-
c?Fq
5.60. Пусть f (х) = а2х2 Д ахх -f aQ ?Fg[x], где q иечетио, и й^ф^
Доказать, что если ф- мультипликативный характер порядка ие менее 3 поля
a rj - квадратичный характер этого поля, то
т
¦ж
т
*>Н
2 Ч>(/(0) = * (4в*Ж
С ? Fg
rj)f
* ''•З
Ч
¦•Д $
где
d - а\ - 4aQa2.
5.61. Доказать, что для р-многочлеиа
? = -j- -j-
d\X
а0х
\
т
над полем F, характеристики р условие аг + a?_j~Ь - ' + af
г-1
а
t
(см. теорему 5.34) выполняется в том н только том случае, когда I (х) = Ж
(х)^
- М (х) для некоторого р-многочлена М. (г) над Fg.
5.62. В свйзи с теоремой 5.39 доказать следующий результат. Пусть т ? и /
? Fq {х j - нормированный многочлен положительной степени, являющий^ m-н
степенью какого-либо многочлена (над некоторым расширением поля F#|
Тогда существует нормированный многочлен g ? Fg Ы, такой, что / - ^
5.63. Пусть av .... ak - различные к элементов поля F? нечетной хара^
теристики, и пусть - заданные к целых чисел, каждое из которн^
равно 1 или -1. Пусть N (ег 8^ обозначает число элементов с ? Fq, такщ|
Упражнения
325
что ц (с+ сы) - для 1 k> где rj - квадратичный характер
поля Р9,
Доказать, что
X(<v •• - ек) = -JT 2j t1+ei4(' + ",))•• • tl + e*,l(c + aft)l-'4-
С ? F О
где 0^/1 ^ kl 2,
5.64, Доказать неравенство
ft
k- 2 1
2 + 2'
используя упр. 5.63 и оценки для сумм значений характеров. \
5,65. Пусть ф- мультипликативный характер порядка т ^ 2 поля Р9, аг ak -
различные k элементов этого поля не1 Eft - заданные k комплексных корней
т-й степени из единицы. Пусть N (&v ..., обозначает число элементов с
? F , удовлетворяющих условию ф (с + - е^. для 1 < / < й. До-
казать, что
k
N (ei - ¦ * ¦" Kk) = if 2 П f1 ei1 ^ + е7"2^2 (с + <*/) + •¦•
m
... + ^+1Г' (с + а,)]-Л,
где 0 < А < k!т.
5.66. Доказать неравенство
N (е1, . . е^)
I
1/2
m
m
-I--
m *
используя упр. 5.65 н оценки для сумм значений характеров.
