Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
гибридных сумм, содержащих многочлены от нескольких переменных, см.
работы Davenport, Lewis [1], Katz [4], Serre [3] и Перельмутер [И], [12].
Суммы вида S {[) над факторкольцом . /(пг) рассматривались в следующих
статьях: Loxton, Smith [2], Архипов, Карацуба и Чубариков [I ] и
Чубариков [1 ] *),
Суммы, аналогичные рассмотренной выше сумме S (/), но
в которых г-наборы (ci, сг) С FJ принадлежат какой-либо
кривой или многообразию из ffjt были впервые рассмотрены Ьомбьери
(Bombieri [4]); см. также статьи Adolphson, Sperber [I ], Bombieri [7],
Chalk, Smith [1], Hooley [4], [5], [6], Laumon [1], Milne [2], Serre [3],
Smith R. A. [2], Williams K- S. [6] и Перельмутер [9], а также детальный
разбор в книге Katz [4].
Так называемые неполные суммы тоже возникают при ограничении на область
суммирования, а именно когда суммирование
А См. также Чубариков [1*1, [2*], [3*]. - Прим, перев.
310
Гл. 5, Тригонометрические суммы
X
II
производится лишь по некоторым "интервалам" или "ящика Неполные суммы в
основном рассматривались для простых пол#1
V -//
Относительно неполных сумм вида 2 X (/ (г)) - где
тривиальный аддитивный характер простого поля Fр• нли коль Z/(m), а / -
многочлен, см. работы Davenport, НеПЬгопп [I Hua [II], [12, § 14],
Карацуба [31, [7], Коробов [2], [3], [4 [5] и Лебедев [11, О случае,
когда f - многочлен от г перем пых и суммирование ведется по всем г-
наборам (с3, ..., сг) С где щ < ct < hi для 1 < / < г, см. Mordell [22 ]
и Serre [3], Для неполных сумм с нетривиальными мультипдикативн
характерами ф простого поля ?р существует классическое венство И. М.
Виноградова [1] и Пойи (Polya 113) (см. так Scliur 12]):
н
< р'/2 logo.
2 ф(а
Cz=l
¦iir
• \vr ./v;
• -M
Небольшие улучшения постоянного множителя были затем пол чены Ландау
(Landau fl]) и И. М, Виноградовым [I2J; см. тащ Whyburn [2]. Тот факт,
что порядком роста левой части может бы число р1/2 log log р, был доказан
Човлой (Chowla S, [3]) с испаф зованием расширенной гипотезы Рима на и
затем в статье В a tern#!1 Chowla, Erdos [1] (без использования
недоказанных предполо: ний); этим был улучшен результат из статьи Paley
11 ] для кол Z/(m). Верхняя граница указанного порядка роста была yeif
новлена Монтгомери и Воном (Montgomery, Vaughan [1]) в пр положении, что
выполняется гипотеза Рим а на для L-функп Дирихле. О приложениях
неравенства Виноградова - Пойи в I ории чисел см. Hua 112, § 14].
Соколовский 11 ] показал, что любого мультипликативного характера ф
простого конечно# поля Fp, р > 2, существует число N С 1N, такое, что
..ч'?
%
N \ (P-V>?2
2
е=Л'-И
(Р - 1/рР;
/•-я
'?й
..Шур
это улучшает результат из статьи Sarkozy [13. Обобщение равенства
Виноградова - Пойи на случай произвольных коШЧ ных полей fq, q - pnf было
получено Дэвенпортом и Льюис (Davenport, Lewis [3]), показавшими, что
если ф-нетривй&1 ный мультипликативный характер поля то
? ч> (с)
с В
<9* 12 (\ + logp)n,
i .#ч** **1.
> ^
; им
¦¦ .'thi
где В - #ящик>\ состоящий из элементов с ~ схах + .* . + ?
Й!
удовлетворяющих условиям 0 Nj < Cj
.с-
Nj + Hj < р
Комментарии 311
i </< п (где \аи ап\ - базис поля Fg иад простым под-полем [Fp, a Nj и Hj
- заданные целые неотрицательные числа). Оценки неполных сумм с
мультипликативными характерами, зависящие от числа Н слагаемых, были
впервые получены Бёрджессом (Burgess [1]) для квадратичного характера
простого поля Fp, а затем Вангом (Wang Y. [1], [2]) и Бёрджессом (Burgess
[21, [3], 15]) для произвольных нетривиальных мультипликативных
характеров простого поля Fp- Эти результаты имеют следующий вид: для
любого г д> 0 существует число Ь > 0, такое, что для простого числа р >
р0 (е) и целого числа Н > рб/М-И справедлива оценка
N+H
S ¦(*)
=ЛГ+1
< Нр
в
ИР
для любых нетривиальных характеров ф поля Fp и любых целых чисел N (см.
Burgess [2]). Аналог неравенства типа неравенства Бёрджесса - Ванга для
произвольного конечного поля Fg был доказан впервые Дэвенпортом и Льюисом
(Davenport, Lewis [31); дальнейшее его усиление получено в статьях
Burgess [71, Fried-iander [3| и Jordan J. H. [3] (для частного случая q -
р2) и в статьях Burgess [10], Friedlander [2] и Карацуба [6], [8 J для
общего случая*). Распределение значений неполной суммы
N~ri1
2 ц (с), где ц - квадратичный характер простого поля F",
с- Л' --I
Davenport, Erdos [lj, Montgomery [2j,
N+H
Wolke [I) и Усольцев [lj. Неполные суммы вида 2 ¦ </ (с)),
где ф - нетривиальный мультипликативный характер простого поля Fp и f ?
Fp [vj, рассматривались в работах Burgess [6j, Виноградов И. М. [4] и
Сегал [I]. Нижние границы для абсолютных величин таких сумм при ф - ц
были найдены Карацу-бой [9], Митькииьгм [3] н Степановым [II]. Неполные
кратные суммы для простого поля Fp с мультипликативными характерами
изучались в статьях Burgess [8], [9] для случая бинарных квадратичных
форм и в статье Gillett [11 для случая произвольных многочленов от
нескольких переменных.
