Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
5.67, Пусть т н k - заданные натуральные числа. Доказать существоваии-
такого действительного числа q0 (т, k)t что для любого числа д,
являющегосз
------------------------- " "-"равенству д^д0(т, k), и
дл5
такой элемент с С Р", что каж
любых элементов аг, ак из поля Fg найдется
я
дый из элементов с + av ..., с + акявляется m-й степенью некоторого
элемента из Fj.
5.68. Пусть ф - некоторый мультипликативный характер поля Рр3!, где
р - нечетное простое чнсло, а у ? Рр" - элемент порядка 2 (р - 1),
Определим сумму Эйзенштейна Е (t|>) равенством
Е(\|>) - ^ tp(l-fcy).
с ? Рр
Доказать, что Е (ip) не зависит от выбора элемента у.
5.69. Доказать, что сумму Эйзенштейна (см, предыдущее упражнение) можно
также задать равенством
Е щ- РЧ> (2) О (¦*, Xi)
Ь №) _ в (ф, Н)
гАе Xl и |А[ - каноническнеаддитивные характеры полей F и Г.,
соответственно, а Ч5 -ограничение характера -ф на Рр. (Указание.
Испольаовать соотношение
326
Гл, 5, Тригонометрические суммы
(5.16) и свойства сумм Гаусса.) Для случая же, когда ф характер,
доказать, что Е (ф) можно записать также в виде
нетривиальна
i т
1 :.4$
5,70. Для элемента а конечного поля F? и мультипликативного характера^
.ййЙ
•¦ki
поля F §1 где s G N, определим обобщенную сумму Эйзенштейна ?8{ф; а)
равен4|
ством
Es (ф; а)
Тг (а)^а
: * <?А • 5vj
; ? • *4
V'T§ ''
¦4
где суммирование распространяется на все элементы а ? F , для которыЩ!
Q ¦ "'.I
Тгр ,ip (а) ~ а. Доказать, что сумма Эйзенштейна является также и
обобщен"
" qsr q >г "
ной суммой Эйзенштейна, так как Е (ф) Е2 (ф; 2).
5.71. Пусть Т0
Tiv. (ас) =
•*S>.
• -,.л
для которые!
множество всех элементов а ? F "
Q
0. Доказать, что множество В элементов $ ? F обладающий
Q
ДО
> i
• v
свойством оф ? То для всех а б Те, совпадает с полем 0-V
5.72. Доказать, что обобщенную сумму Эйзенштейна Е$ (ф; а) можно задать
равенством
73_1Ф(д)(7(Ф*, Xi)
Л
Е& (ф; а) =
С(ф, рД
где Xi и pf - канонические аддитивные характеры полей Fff н F s
соответствен нр||г
аф -ограничение характера ф на Тя. (Указание. Использовать соотиошенш||
(5.16), упр. 5,71 и свойства сумм Гаусса.) Для случая же, когда ф* -
нетривиальный характер, доказать, что Es (ф; а) можно записать также в
виде
4
?3(ф; а) =
5,73. Доказать равенства
Es (ф4 а) = Е$ (ф; ар)
ф(а)С(ф, pL)
О (Г, Ул)
?Лф4 а)
где р
= ES(ф; а),
характеристика соответствующих полей Ffl и F
* " V
5.74. Доказать, что если а ? F? н ф- нетривиальный мультипли характер
поля FqSf порядок m которого делнт число q + 1, то имеет
равенство
>"М
''fey
•••• J* С5 &
Д.
Ш
' бШ
•:# Ml
¦:фД:
¦ -Ы
Щ
'
Ш
Е2 (ф; а) - (-1)
'М
(Указание. Применить теорему 5.16 Штикельбергера.)
5.75. Пусть ф~~ мультипликативный характер поля F 5
н ф
ш
его огра"|
ннчение на F?. Доказать, что еслн характер ф* нетривиален и а ? F?, то j
Е$ (ф;|
а) j = ^{з~~1)/ф (указание. Воспользоваться результатом упр. 5.9.)
5.76. Доказать следующее свойство суммы Эйзенштейна: если ограничение ф#
§ мультипликативного характера ф ноли гр* на F* является нетривиальным
ха";|
рактером, то '-й
Е (ф)2 _ J (ф, ф)
?(ф2) /(ф*, ф*) '
Упражнения
327
5.77. Доказать следующее свойство обобщенной суммы Эйзенштейна: если
ограничения ip*, мультипликативных характеров tj),, ^.поля F s на F*
* "
нетривиальны, то для любого а ? Wq справедливо равенство
Ea (tjy, а) ¦ ¦ . Es а) ^ J($v . . ., %)
' ' ' 'Ь*' Й) ^ №¦ ' ' ^/г)
5.78. Доказать, что если ограничение tj)* иа Fp мультипликативного харак-
•repa t|> поля Ррй является нетривиальным характером, то Е (tj)*5'1'1} -
-J
где rjp - квадратичный характер поля Fp.
5.79. Доказать, что суммы Клостермана (см. определение 5.42) обладают
свойством К (х\ а, 6) = К (X: 6> а) для всех а, 6 ? F9.
5.80. Доказать, что если a, b ? и хотя бы один из элементов а и
Ь ие
равен нулю, то К (%'> а, Ь) = К (х; ^6, I) == К (х; U
5.81. Б обозначениях теоремы 5.43 доказать, чтд
К (х; й, 6)4 Д к (х<4); а, 6) + AqK (х<2); а. ь) = 6?~ для а,
6 е F?.
5.82. Пусть F^ - поле нечетной характеристики, / и g - квадратные
многочлены иад F9 и х - нетривиальный аддитивный характер поля F9.
Выразить сумму 2] X if (с) ё (й)"1) через суммы Клостермана (здесь с
пробегает все
с
элементы поля IFg, для которых g (с) Ф 0).
5.83. Пусть tjp - мультипликативный, а х - аддитивный характеры поля F# и
а, b ь Т(], Определим обобщенную сумму Клостермана равенством
ЖФ" X; й, fr)- ? {с) % (ас ф bc~ i).
"6f;
Доказать, что если ab = 0, то такая сумма сводится к сумме Гаусса в
следующем смысле:
(6) О (¦ф, х), если а~ О, ЬФ О,
ф(а)0(^, х). если афО, 6 = 0,
О (т|5, Хо), если а ~ Ь - 0.
5.84. Доказать, что если ц - квадратичный характер поля нечетной
характеристики н йД f F?, причем n(ab) - -I, то К (гр %\ а, 6) ~ 0 для
любого аддитивного характера х поля F?.
5.85. Доказать, что еслн т]-квадратичный характер ноля F? нечетной
характеристики и а, 6 ? F#, причем ab - d2 для некоторого d ? Fq, то для
каждого аддитивного характера % поля F? имеет место равенство
