Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Суммы Клостермана впервые появились в работе Kloos-terman [1] в
связи с представлением целых чисел квадратичной формой. В этой работе
содержится также оценка нетривиальных сумм Клостермана для конечных
простых полей Fn. имеющая порядок р3^4 (см. также Estermann [1] и Salie
[1]). Улучшенная праннца порядка р2/3 была получена в статьях Davenport
[4]
. 1) Бёрджесс [10] и Фридлеидер [2] повторили результат Кдрацубы [6],
loj. Метод также заимствован у Карацубы. - Прим. перев.
312
Гл. 5. Тригонометрические суммы
ж
' ' s'if
s>*
и Salie [21. Хассе (Hasse [5 j) заметил, что оценка, указанна^ в теореме
5.45, вытекает из гипотезы Римана для кривых на| конечными полями.
Справедливость этой гипотезы была усш новлена Вейлем (Weil [II, [2],
[3]), который затем доказав в статье Weil [53 и упомянутую выше оценку
для сумм Клостер мана. Доказательство Вейля теоремы 5.45 было упрощено
лицом и Утиямой (Carlitz, Uehiyama [I]), которые к тому рассмотрели
случай четного числа цл не изученный Вейлем. Д1 доказательства теоремы
5.45 можно найти в книге Шмид* (Schmidt W. М. [3, ch. 21); они
существенно опираются на ме Степанова [41, [51.
Теорема 5.46 доказана в статье Carlitz [III 1. Применяя мног члены
Диксона, определенные равенством (7.6) (см. гл. 7), можй переписать
формулу из теоремы 5.46 в виде
К (X(s) ;",&) = - ft (- К, q) = (- l)'-1 ft (К, q).
,я
Равенство в теореме 5.47 является частным случаем формуд преобразования
из статьи Jacobsthal [I ]. Доказательства теоре!$ 5.47 можно найти также
в работах Davenport [4l, Salie [I Schmidt W. M. [3, eh. 2] и Williams К
S. [16 3. Различные венства для сумм Клостермана, а также сумм из
произведет! сумм Клостермана содержатся в статьях Davenport [4 ], L mer,
Lehmer [1 1, [31, Salie [I ] н Whiteman [51; см. также zko [1 1, где
предлагается иной подход. Некоторые из этих равен связаны е суммами
Якобсталя. Карлиц (Carlitz [109]) изучил которые элементарные свойства
сумм Клостермана для поля характеристики 2. у*
Поскольку уже само появление сумм Клостермана было €&i зано с
квадратичными формами, вряд ли следует удивляться тоЩ что их можно
использовать для изучения тригонометрнчееМ| сумм, содержащих квадратичные
формы (см. Carlitz [45], 14Г [1091, Chowla S. [20], Виноградов И. М. [4],
Малышев [2 Результат работы Carlitz [461 был обобщен в работах Carlitz [7
и Hodges [161. В статье Dwork [II j суммы Клостермана расе триваются е
точки зрения р-аднческнх когомологий.
Рассматриваются также суммы Клостермана для фактору лед 7J(m). Оценка для
таких сумм, основанная на оценке Вей была получена в статье Hooley [II;
см. также Estermann [4 ]. В статье Salie [1 1 получено точное значение
для сумм стермана в случае m - рС где р - простое число и k > 2; с также
Whiteman [21, Williams К. S. [19], [28] н Малышев ( гл. 21. Клостерман
(Kloosterman [2]) сделал важное наблюденн что суммы Клостермана для
кольца XI{тп) появляются в свЩ с коэффициентами Фурье модулярных форм.
Эта замечательк* связь в дальнейшем широко использовалась; см., например,
pj боты Bruggeman [I], Deshouiilers, Iwaniec [I j, lwaniec
'¦."ft
m
Комментарий
313
parson 111, Petersson [1], Rademacher [I], [2], Selberg [2], Кузнецов H.
В. [I ], Линиик [2 ], Малышев [4] и Проскурина [I j,
[2]. Дальнейшие результаты о суммах Клостермана для факторкольца Z/(m)
можно найти в работах Hooley [2 3, Kloosterman [I ],
[2], Salie 11 ], Selberg [1 ], Smith R. A. [5] и Малышев [3, гл. 2].
Андрухаев [2 ] изучал суммы Клостермана для факторколец кольца целых
гауссовых чисел. Неполные суммы Клостермана изучал ись Клостерманом
(Kloosterman [I ], [2 ]) и Радемахером (Rademacher П ]); см. также
Hooley [3, ch. 2].
Обобщенные суммы Клостермана, определяемые в упр. 5.83, были введены
Дэвенпортом (Davenport [41). Для случая квадратичного характера ф такую
сумму называют также суммой Салье, так как Салье (Salie [11) впервые
доказал для нее формулы, приведенные в упр. 5.84 н 5.85 для простых
конечных полей. Доказательства формул для сумм Салье можно найти также в
работах Lehmer D. Н. [6], Mordell [26], [28], [30], Williams К- S. [16],
[21], [22] и Малышев [3, гл. 2 ]. Суммы Салье играют важную роль в
изучении функции разбиения (см. Lehmer D. Н. [6]). Оценка типа Вейля для
обобщенных сумм Клостермана была получена Човлой (Chowla S. [22 ]) для
случая, когда ф не является квадратичным характером. Обобщенные суммы
Клостермана появляются также в статьях Carlitz [46], Hodges [16],
Kloosterman [5] и Виноградов И, М. [5] и (в близкой форме) в работах
Кпорр [I], Rohrbach [I], Андрухаев [I] и Малышев 111, [3, гл. 2], [4]. О
дальнейших обобщениях сумм Клостермана, связанных с теорией модулярных
форм, см. Bruggeman [11, Deshouib lers, Iwaniec [I ], Rankin [I, ch. 51,
Selberg [2] и Проскурин [11,
[3]. Другое важное обобщение сумм Клостермана для конечных полей
возникает при рассмотрении сумм вида 2 % {R (с)), где R - рациональная
функция над полем fq и суммирование ведется по всем элементам с ? Fg, для
