Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
51
вообще, расстояние от центра до любой касательной дает радиус инерции относительно диаметра, параллельного рассматриваемой касательной.
§ 7. Моменты инерции тел, поверхностей и линий. Примеры
31. Едва ли нужно доказывать, что понятие о моменте инерции и его свойства, установленные для дискретных масс, можно непосредственно распространить и на массы, непрерывно распределенные по объему, поверхности или линии. Достаточно вспомнить соображения, посредством которых аналогичное обобщение было оправдано для центров тяжести (п. 15).
О аналитической точки зрения дело сводится к замене формулы
1 = 2 т$и і
определяющей момент инерции, и, вообще, сумм, распространенных на точки системы 8, интегралами, распространенными на область S (объем, поверхность или линию), занимаемую системой.
Таким образом, если dS есть любой элемент области, содержащий точку Р, dm — масса элемента, 8—расстояние точки P от оси г, р. — плотность (объемная, поверхностная или линейная) в Р, то будем иметь формулу
I= j №т = J |а82dS, (26)
s s
которую в случае однородной системы можно- написать в виде
I=P f 848. (26')
s
32. Прямой однородный параллелшипед. Центр тяжести О совпадает с точкой пересечения диагоналей (п. 16).
Три плоскости, параллельные граням и проведенные через точку О, являются плоскостями симметрии и, следовательно (п. 27), главными плоскостями центрального эллипсоида инерции, так что, согласно общему замечанию п. 25, дело сводится к вычислению моментов инерции s1, s2, s3 относительно этих трех плоскостей.
Обозначив, как обычно, через р плотность (по предположению, постоянную) и через а, Ъ, с — длины трех ребер, будем иметь
т = раЪе.
Возьмем начало координат в точке О и направим оси параллельно ребрам, вследствие чего уравнения шести граней будут иметь вид
_і_ № _і_ Ь . с
X = — и = — г =S -+- — — 2> У — — 2' ~~ 2 ' 52
ГЛ. X. ГЕОМЕТРИЯ МА.СС
Выражение для S1 мы можем написать в виде S1 = ji j j j ж2 dxdy dz,
где интегрирование по х, у, г будет производиться между пределами
a , a Ъ , Ь с , с
~2 и+2« -ти+2, --И+2-
Так как подинтегральная функция ж2 не зависит ни от у, ни от г, то можно интегрировать по этцм двум аргументам при любом значении X, что дает
: \i.hc J а
Xі dx:
2
вспоминая, что масса параллелепипеда равна раЪе, получим
, 2 а3 а2
sI = Ij-6cS 8 =mW-Выполнив круговую замену букв а, Ъ, с, получим, очевидно,
Ь2 с2
s^ = т Ї2 ' ^3 = т І2'
так что главные моменты инерции получат вид
Ь2 + с2 -о с2 + «2 „ а2 -(- Ь-= т 12 '' В = С=т—,
а соответствующие радиусы инерции будут равны
rw+ж Г*±ф /"^+F V 12 ' V 12 ' V 12 •
33. Однородный прямоугольник. Центр О прямоугольника совпадает с его центром тяжести. Плоскость прямоугольника и две плоскости, проведенные через О перпендикулярно к сторонам, очевидно, являются главными плоскостями инерции, так что главными' осями инерции будут прямые, параллельные сторонам, и перпендикуляр к плоскости прямоугольника.
Значения моментов и радиусов инерции можно получить и без прямого вычисления (хотя это вычисление и весьма просто), обращаясь к предыдущему случаю. В самом деле, рассмотрим однородный параллелепипед с ребрами а, Ь, си объемной плотностью ц и предположим, что величиной с можно пренебречь по сравнению с величинами а, Ь, так что параллелепипед можно уподобить материальному прямоугольнику со сторонами а, Ь. Речь будет идти об § 7. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛ, ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЛИНИЙ
53
однородном прямоугольнике; каждому его элементу dS будет соответствовать масса pcdS, а следовательно, поверхностная (постоянная) плотность V будет равна o.e.
Очевидно, можно сделать так, чтобы v сохраняла заданное значение даже в том случае, когда с стремится к нулю: достаточно представить себе, что объемная плотность ц параллелепипеда возрастает при стремлении с к нулю, принимая значения ja = v/c.
Для нашей цели достаточно, впрочем, заметить, что если материальный прямоугольник рассматривается как предел параллелепипеда, то масса прямоугольника должна быть равна массе т параллелепипеда. Если поэтому в формулах, относящихся к параллелепипеду, в которые входят а, Ъ, с и т, положим с = О, то непосредственно получим соответствующие формулы, относящиеся к однородному прямоугольнику.
Поэтому тремя главными моментами инерции относительно средних линий прямоугольника и общего перпендикуляра к ним в точке их пересечения будут
ь2 ,, «2 ri «2 +fta 12' ml2' ~т 12 '
а соответствующими радиусами инерции
Ъ а Г cfi + Ь2
УП' Y12' У ~2
Как мы видим, С совпадает с А-\-В, что и должно иметь место на основании общего замечания п. 28.
34. Однородный эллипсоид. Центр и три главные плоскости эллипсоида совпадают, очевидно, с его центром тяжести и главными плоскостями центрального эллипсоида инерции.
Если через а, Ъ, с обозначим полуоси данного эллипсоида, через — плотность, то объем эллипсоида будет равен (4/3) г.аЪс, а для массы будем иметь выражение
т = — краЪс. о
Уравнение
_l -l — — 1 а2 ' Ь2 ' с2
