Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
і
где сумма, очевидно, должна распространяться на все точки системы. Обозначив, как обычно, через т массу 2 nH системы и пололсив
I = W 82, (14)
будем называть определенное таким образом положительное число 8, т. е.
? т '
радиусом инерции системы 8 относительно оси г.
Механический смысл радиуса инерции непосредственно виден из формулы (14): о есть то расстояние от оси г, на котором должна находиться материальная точка с массой т, равной массе системы, § 5. моменты инерции
41
чтобы момент инерции ее относительно оси г был равен моменту инерции I системы.
Размерность момента инерции, как это следует из формулы (14), есть Pm; размерность же радиуса инерции есть I, что непосредственно видно из его определения.
19. Аналогично определению момента инерции любой материальной системы S относительно оси можно ввести еще следующие определения.
1. Моментом инерции системы S относительно точки P называется сумма произведений масс точек системы S на квадраты их расстояний от P (так называемый полярный момент инерции, п. 14).
2. Моментом инерции системы ? относительно плоскости it называется сумма произведений масс точек системы S на квадраты пх расстояний от плоскости it.
В приложениях почти исключительно пользуются моментами инерции относительно оси, поэтому мы ограничиваемся изучением только их.
20. Изменение момента инерции при изменении положения оси. Для заданной материальной системы S существует бесконечно много моментов инерции I, соответствующих бесконечному множеству осей г. Мы изучим, как изменяется I при изменении положения г.
Исследование упростится, если предварительно заметим, что можно ограничиться разбором двух частных случаев, а именно:
а) как изменяются моменты инерции относительно параллельных осей;
б) как изменяются моменты инерции относительно осей, пересекающихся в одной точке.
Действительно, предполагая известными законы изменения моментов инерции в случаях „а" и „б", мы будем в состоянии найти соотношение между моментами инерции относительно двух осей г, S, расположенных как угодно в пространстве. Для этого достаточно провести через точку, выбранную как угодно на s, прямую г', параллельную г. Ответ на вопрос „а" позволит нам перейти от момента инерции относительно г к моменту инерции относительно г', а ответ на вопрос „б" — от момента инерции относительно г' к моменту инерции относительно s.
21. Прежде всего докажем теорему, принадлежащую Гюйгенсу (и сформулированную Эйлером, которому принадлежит введение понятия и систематическая теория моментов инерции).
Христиан Гюйгенс родился в Гааге в 1629 г., умер там иге в 1695 г., был одним из трех первых иностранных членов Академии наук в Париже и Королевского общества в Лондоне. Главнейшце его труды: открытие кольца 42
гл. x. геометрия ма.сс
Момент инерции системы относительно оси г равен моменту инерции I0 относительно оси г0, параллельной г и проходящей через центр тяжести, сложенному с произведением массы системы на квадрат расстояния d между этими осями.
Примем за ось z ось г0, параллельную г и проходящую через центр тяжести G, и за плоскость zx плоскость, содержащую прямую г. При этих условиях уравнения прямой г будут иметь вид
x — d, у = О,
где d — расстояние между двумя осями.
Поэтому, если обозначим через Xi, yit Zi координаты произвольной точки Pi системы 8, то координатами ее проекции Qi на прямую г будут d, 0, Zi. Расстояние Ii точки Pi от оси г есть не что иное, как длина отрезка PiQit поэтому
и, следовательно, согласно определению момента инерции I, мы будем иметь
1=2 [О* — af 4- у)} = 2 Щ (Xi + Уі)2 — 2d 2 IniXi + й2 2 ті-і і і і
Если заметим, что ось z мы провели через центр тяжести G и что, следовательно, координата х0 этой точки равна нулю, то увидим, что сумма 2mix% равна нулю; с другой стороны, сумма і
2 Щ [зч + уЪ равна моменту инерции относительно оси z, т. е. J0; і
2 ті есть полная масса т системы. і
Поэтому мы имеем равенство
I = J0 -I- mcZ2, (15)
которое и нужно было вывести.
Эта формула показывает, что между всеми осями, параллель1 ными заданному направлению, та, для которой момент инерции наименьший, проходит через центр тяжести. Кроме того, если для заданной системы мы знаем момент инерции J относительно оси г и положение центра тяжести, то равенство (15) позволяет вычислить значение Г момента инерции относительно другой какой-
Сатурна, первая волновая теория распространения света, которая позволила ему объяснить, помимо известных тогда явлений, явление двойного преломления, открытого им же в исландском шпате, наконец, его вклады в механику, из которых мы ограничимся упоминанием закона колебаний маятника с практическими приложениями к устройству часов; в его исследованиях о колебаниях физического маятника по существу и содержится понятие о моменте инерции и приводимая в тексте теорема. Ср. Horologium oscillat-j-ium (Париж, 1673 г.). § 5. моменты инерции
43
нибудь прямой г', параллельной г. Действительно, мы имеем два соотношения
