Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 21

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 134 >> Следующая


выражает поверхность эллипсоида, отнесенную к главным осям. Таким образом, и здесь все сводится к вычислению s1, s2, S3.

Прежде всего достаточно определить только одну из этих величин, так как две другие можно получить из нее круговой перестановкой букв Ъ, с. 54

гл. x. геометрия ма.сс

Рассмотрим, например,

S8 = J J J z* dxdy dz,

где интегрирование должно быть распространено на весь объем эллипсоида.

Для того чтобы выполнить интегрирование наиболее простым способом, представим себе, что область интегрирования разложена

на элементарные слои толщиной dz, заключенные между плоскостями, параллельными плоскости z—O (фиг. 18). Функция Z2 под знаком интеграла остается постоянной (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых) в каждом слое, и значение тройного интеграла по слою будет, очевидно, равно произведению г2 на объем слоя, основанием которого, соответствующим произвольному значению з, является сечение нашего эллипсоида плоскостью, к которой относится это значение z. Контуром такого сечения является эллипс, который проектируется на плоскость ху в истинную величину в виде эллипса с уравнением

Фиг. 18.

х1л_У Я2 T

Ь2

!""с"2

илн

(-V'-if ('/'-S'

Полуосями этого эллиптического сечения будут

Я ]f 1S. •

= 1.

«2 ca'

так что площадь его равна

™ъ (l - J)

и объем элементарного слоя будет равен поэтому

тЬ



Для того чтобы исчерпать всю область интегрирования, достаточно изменять Z от —с до -(-с. Выражение S8 можцо поэтому § 7. моменты инерции тел, поверхностей и линий

55

написать в виде

о

S3-Picabj —^jdz.

—с

Проинтегрировав, мы получим

S8 = TtjмЪс% XO

или, вводя полную массу т,

сз

S3 = т

Аналогичные значения мы будем иметь и для двух других плоскостей:

»а &а

S1 = m -jr, s3 = m у;

следовательно, главные моменты инерции определятся равенствами

л Ь2 + сЗ с2 + «2 аЗ + ьз

J. = т —і—, B = т —р-—, С=т —-— , 5 5 5

а соответствующие радиусы инерции будут.иметь вид

уъ* + C2 y^C^ + ffi2 yTffi2 Jt 1)2

35. Шар. Момент инерции I0 однородного шара с радиусом В относительно одного из его диаметров получится из любого из найденных выражений для А, В, С, если положить в них а = Ъ = с = В. Поэтому момент инерции шара определится равенством

I0= J тВ?,

а радиус инерции будет равен

V



36. Момент инерции относительно оси однородного круглого цилиндра, ограниченного двумя параллельными плоскостями. Пусть В есть радиус цилиндра, Ji — его высота, jj. — плотность и I—искомый момент инерции. Можно избежать прямого вычисления, применив следующий искусственный прием. Момент инерции есть функция от радиуса В; если (при постоянных значениях h я р) В возрастает на dB, то J получает приращение dl, представляющее собой момент инерции цилиндрического слоя с внутренним радиусом В и толщиной dB. Так как расстояние точек слоя от оси 56

гл. x. геометрия ма.сс

является для всех них равным В (с точностью до бесконечно малых), а масса слоя есть

[а2тсBh dB,

то будем иметь

dI = 2-KphB3dB.

Отсюда следует, что

I = у -KphB4 const, а так как при В — 0 имеем I = О, то можно написать

7 = i- ^hIiK

Масса цилиндра равна jj.itВЧ, поэтому окончательно имеем

1 = ~ тВ2,

а радиус инерции равен В/У 2.

37. Однородный круглый диск. От случая цилиндра, очевидно, можно перейти к случаю диска, представляя себе, что высота h становится бесконечно малой. Как и в п. 83, мы будем иметь для

диска поверхностную плотность v, связанную с Ji соотношением

V = ZiJi.;

так как т и В сохраняют их значения, то для момента инерции и для соответствующего радиуса инерции остаются

в силе выражения -^mB2 и B/V 2. 38. Момент инерции относительно оси

однородного твердого тела вращения, ограниченного двумя параллельными плоскостями. Пусть y = f{z) есть уравнение меридиана поверхности вращения, ось 0 (фиг. 19). Рассечем тело вращения плоскостями, перпендикулярными к оси, на элементарные диски. Момент инерции какого-нибудь одного из этих дисков с радиусом,

равным В, и высотой dz будет равен (п. 36) ItjjJJ4 dz, где ja

представляет собой плотность; если z = Z1 я z = суть уравнения плоскостей, ограничивающих твердое тело, то момент инерции I определится равенством

«2

J=^j Д* Л*, г;

имеющей осью вращения § 7. моменты инерции тел, поверхностей и линий

57

Но R есть не что иное, как текущая координата y = f(z) точки меридиана, так что будем иметь

I=^jlf(z)Ydz. (27)

«і

39. Усеченный

конус. Есди меридиан есть прямая у = ^tg а, то тело вращения будет представлять собой круговой усеченный конус, половину угла при вершине которого обозначим через а. Формула (27) дает

TItX tg* q Is 5\

и, выражая J через радиусы B1 = ^tga, E2 = ^2Iga н высоту Ii = Z2 — Z1 усеченного конуса, получим

J-S5^ (Ра—тг?).

Если заметим, что масса усеченного конуса есть ,

то радиус инерции 8 можно будет определить из соотношения

IORl-Rl'

Для конуса (R1 = О, R2 = 1?), в частности, будем иметь

8 = /Ir.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed