Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Приняв любую грань тетраэдра за основание, можно сформулировать следующую теорему: центр тяжести тетраэдра совпадает с центром тяжести сечения, параллельного основанию и проведенного на расстоянии одной четверти высоты от основания.
Действительно, точка G принадлежит такому сечению, как это видно из предыдущего, а отсюда следует, что она есть центр тяжести сечения, потому что лежит на трех плоскостях-медианах, проходящих через вершину А тетраэдра, которые пересекают по медианам каждое сечение, параллельное основанию.
е) Пирамида. Центр тяжести пирамиды (и, как предельный случай, конуса) лежит на отрезке, представляющем собой геометрическое место центров тяжести сечений, параллельных основанию, и делит этот отрезок (считая от вершины) в отношении 3:1. Можно также сказать, что он совпадает с центром тяжести сечения, параллельного основанию и проведенного на расстоянии одной четверти высоты от основания.
Доказательство очень просто. Представим себе основание пирамиды разделенным на треугольники T', Т", ..., и пусть S', S", ... будут соответствующие им тетраэдры, т. е. тетраэдры, имеющие основаниями эти треугольники и общей вершиной — вершину пирамиды.
Рассмотрим еще сечение о, проведенное на расстоянии одной четверти высоты от основания. Оно пересекает тетраэдры S', S",... по треугольникам Т[, Т'[, ..., подобным треугольникам T', Т", ... (соответственные стороны относятся друг к другу, как 3 к 4, и, следовательно, площади, как 9 к 16). Обозначая через G', G", ... центры тяжести тетраэдров S', 3", ..,, мы можем утверждать на s 4. центр тяжести тела, поверхности и линии
39
основании предыдущего, что они совпадают с центрами тяжести треугольников Tu Tі, ... С другой стороны, в силу распределительного свойства (п. 12) центр тяжести G пирамиды можно рассматривать как центр тяжести точек G', G", ..., массы которых равны соответственно массам тетраэдров S', 8", ... Эти массы пропорциональны объемам, а так как речь идет о тетраэдрах с одной и той же высотой, то они пропорциональны площадям их оснований T', Т", ..., или, наконец, площадям треугольников Ti, Ti, ... Центр тяжести сечения о, проведенного на расстоянии одной четверти высоты от основания, также совпадает, вследствие распределительного свойства, с центром тяжести точек G', G", ... (центров тяжести треугольников Ti, Tu составляющих вместе сечение о), если представить себе, что в этих точках сосредоточены массы треугольников. Так как общий множитель пропорциональности, если на него умножить массы точек системы, не изменит координат центра тяжести (п. 8), то таким образом доказано, что центр тяжести G пирамиды совпадает с центром тяжести этого сечения о.
17. Теорема Гюльдена Объем тела, образованного вращением какой-нибудь плоской фигуры вокруг оси,, расположенной в плоскости фигуры и не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину дуги окружности, описанной ее центром тяжести.
Пусть а есть площадь фигуры; примем ось вращения за ось Ox (фиг. 16) и предположим, что плоскость хОу фигуры поворачивается на некоторый угол а. Найдем, каков будет объем V тела, образованного при таком вращении. Очевидно, что мы можем сначала вы- ___
числить объем, образованный вращением эле- OCD х
ментарной площадки dxdy, и затем про- Фиг. 16.
интегрировать полученное выражение по всей площади о. Объем, образованный вращением прямоугольника dxdy, можно рассматривать как разность между объемом, образованным вращением фигуры A'B'DC, и объемом, образованным вращением фигуры ABDC; каждый из них равен произведению а/2я на объем соответствующего цилиндра. Обозначив через х, у координаты точки А, для первого из этих объемов будем иметь
¦ CD= j{y^dyYdx,
') Павел Гюльден родился в кантоне Сен-Галлс в 1577 г., умер в Граце в 1643 г. Был иезуитом и долго жил в Риме, затем преподавал в университетах Вены и Граца. 40
гл. x. геометрия ма.сс
а для второго i? dx; отсюда (пренебрегая бесконечно малыми
и
третьего порядка, не влияющими на величину двойного интеграла) следует, что объем, образованный вращением площадки dx dy, равен ay dxdy и, следовательно,
F= a J ydx dy.
<z
Введем теперь центр тяжести G площади о. Для координаты у0 уравнение (12') дает
f У dx dy
Уо = ^—в-
а отсюда следует равенство
F=oay0,
которое и доказывает теорему Гюльдена, так как ау0 есть не что иное, как дуга, описанная центром тяжести G фигуры о при повороте на угол а.
§ 5. Моменты инерции
18. Определения. Пусть P— материальная точка с массой т, г — какая-либо прямая, 8 — расстояние точки P от г.
Моментом инерции точки P относительно оси г називаєшся произведение т№ массы точки на квадрат ее расстояния от оси.
Моментом инерции системы 8,- состоящей из конечного числа материальных точек Pi (i = 1, 2, ...,), относительно оси г называется сумма моментов инерции отдельных ее точек.
Обозначив через I момент инерции системы, через т{ массу г-й ее точки Pi, через Si расстояние точки Pi от оси г, согласно определению будем иметь
i=S»<8?, (із)
