Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
T
у7' J r YT YT
или _
a = xVZ ? = г/ У!, *Ґ = 0 Vl\
если в формуле (16) вместо а, ?, Y подставим эти значения, то по сокращении на I получим
Ax2-j-Bya + Cz2 — 2A'yz — 2В'гх — 2С'ху= 1. (21)46
гл. x. геометрия ма.сс
Это и есть уравнение поверхности Е. Отсюда видим, что мы имеем дело с поверхностью второго порядка, а так как мы знаем, кроме того, что поверхность E должна быть замкнутой, то она может быть только эллипсоидом, центр которого есть точка О, как это следует из симметрии поверхности E относительно О.
24. Эллипсоид E называется эллипсоидом инерции относительно точки О. Если эллипсоид инерции дан, то можно найти момент инерции относительно всякой прямой г, проходящей через О. Действительно, обозначив через L одну из двух точек, в которых г пересекает эллипсоид, мы получим на основании равенства (20)
Отсюда следует, что из всех осей, проведенных через О, та, которой соответствует наименьший момент инерции, является большой осью, а та, которой соответствует наибольший момент инерции, — малой осью эллипсоида инерции.
Оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции относительно рассматриваемой точки.
Принимая их за оси координат, уравнение (21) можно, привести к виду
Ax2 + Hy'1 + Cs2 = 1; (21)
произведения инерции А', В', С" равны в этом случае нулю, или, если принять во внимание вторую группу равенств (17), равны нулю суммы
2 щуі8и 2 ^iiZiXu 2 тіхіУі-і і і
Величины А, В, С, очевидно, сохраняют свой смысл и, следовательно, будут моментами инерции относительно главных осей, или, как обычно говорят, главными моментами инерции. Соответствующие радиусы инерции
лГ ± Tf* Л/
Vm' Vm' V
называются главными радиусами инерции.
25. Эллипсоид инерции относительно центра тяжести системы называется центральным эллипсоидом инерции.
В общем случае, когда хотят вполне описать распределение моментов инерции заданной системы, указывают (помимо полной массы) элементы, определяющие центральный эллипсоид инерции, т. е. оси и главные моменты (или главные радиусы) инерции относительно центра тяжести. Этим будут определены в сжатой§ 6. эллипсоид инерции. главные оси инерции
47
форме моменты инерции относительно любой центральной (т. е. проходящей через центр тяжести) оси; моменты же инерции относительно оси, не проходящей через центр тяжести, определятся из равенства (15).
В некоторых случаях самая конфигурация системы (п. 18) показывает, где находится центр тяжести и как направлены относящиеся к нему главные оси инерции. Принимая их за оси координат, можно сказать (п. 22), что все сводится к тому, чтобы определить три суммы:
S1 = 2 h = 2 mi!Jh Ч =2 тіг'и і і і
представляющие собой моменты инерции системы относительно главных плоскостей центрального эллипсоида инерции.
Полезно отметить, что если система S отнесена к главным осям инерции, проходящим через центр тяжести, то каждая из шести
сумм
2 ™їЧ, 2 тіУі> 2 misi, 2 щугч, 2 2 ЩхІУІ
і і і і і і
будет равна нулю; первые три равны нулю потому, что начало координат находится в центре тяжести, а вторые три (предыдущий пункт) — вследствие того, что осн координат являются главными осями инерции.
26. Главная ось инерции относительно центра тяжести является главной осью инерции также и относительно всякой другой своей точки.
Действительно, пусть О есть центр тяжести и Os —одна из главных осей инерции. Тогда будем иметь
А' = 2 тіУі*і = 0, В' = 2 IniSiXi = 0. і і
Взяв на Os какую-нибудь точку O1, отличную от О, положим OO1 = а и рассмотрим систему координат O1X^y1Zt оси которой X1, ух параллельны осям х, у и одинаково направлены с ними. Новыми координатами точки Pi (Xi, у{, Zi) будут Xi, У(, Zi — а, так что новые произведения инерции будут иметь значения
A11 = 2 ЩУі І — а) = 2 — а 2 mi!Jt, \
І І ^ ( ' )
B1 = Jmi (Zi — a) Xi = JmiZiXi — a JmiXi, [ і і і J
оба эти произведения инерции обращаются в нуль, потому что, по предположению, произведения инерции А', В' и статические моменты48
ГЛ. X. ГЕОМЕТРИЯ МА.СС
2 ЩЩ, 2 тіУі равны нулю. Это и означает, что Oz является і і
главной осью инерции также и относительно любой ее точки О.
Предположим теперь, что О есть произвольная точка системы и что одна из ее главных осей инерции Oz проходит через центр тяжести O1; равенства (22), которые справедливы также и при этих предположениях, показывают, что если мы имеем
а' = в' = 2 щщ = 2 щУі = о, і і
то будут обращаться в нуль также и Ai и В[. Таким образом, если прямая является главной осью инерции относительно одной из своих точек и проходит через центр тяжести, то она будет также главной осью инерции относительно центра тяжести (и, следовательно, относительно всякой другой своей точки).
27. Если рассматриваемая система S имеет плоскость симметрии (п. 18), то 'достаточно принять ее за плоскость координат, чтобы два из произведений инерции обратились в нуль.
В самом деле, если плоскость симметрии принимается за плоскость S = о, то имеем
2 VniXiZi = 0, 2 ЩУ& — О, і і