Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 18

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 134 >> Следующая


T

у7' J r YT YT

или _

a = xVZ ? = г/ У!, *Ґ = 0 Vl\

если в формуле (16) вместо а, ?, Y подставим эти значения, то по сокращении на I получим

Ax2-j-Bya + Cz2 — 2A'yz — 2В'гх — 2С'ху= 1. (21) 46

гл. x. геометрия ма.сс

Это и есть уравнение поверхности Е. Отсюда видим, что мы имеем дело с поверхностью второго порядка, а так как мы знаем, кроме того, что поверхность E должна быть замкнутой, то она может быть только эллипсоидом, центр которого есть точка О, как это следует из симметрии поверхности E относительно О.

24. Эллипсоид E называется эллипсоидом инерции относительно точки О. Если эллипсоид инерции дан, то можно найти момент инерции относительно всякой прямой г, проходящей через О. Действительно, обозначив через L одну из двух точек, в которых г пересекает эллипсоид, мы получим на основании равенства (20)

Отсюда следует, что из всех осей, проведенных через О, та, которой соответствует наименьший момент инерции, является большой осью, а та, которой соответствует наибольший момент инерции, — малой осью эллипсоида инерции.

Оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции относительно рассматриваемой точки.

Принимая их за оси координат, уравнение (21) можно, привести к виду

Ax2 + Hy'1 + Cs2 = 1; (21)

произведения инерции А', В', С" равны в этом случае нулю, или, если принять во внимание вторую группу равенств (17), равны нулю суммы

2 щуі8и 2 ^iiZiXu 2 тіхіУі-і і і

Величины А, В, С, очевидно, сохраняют свой смысл и, следовательно, будут моментами инерции относительно главных осей, или, как обычно говорят, главными моментами инерции. Соответствующие радиусы инерции

лГ ± Tf* Л/

Vm' Vm' V

называются главными радиусами инерции.

25. Эллипсоид инерции относительно центра тяжести системы называется центральным эллипсоидом инерции.

В общем случае, когда хотят вполне описать распределение моментов инерции заданной системы, указывают (помимо полной массы) элементы, определяющие центральный эллипсоид инерции, т. е. оси и главные моменты (или главные радиусы) инерции относительно центра тяжести. Этим будут определены в сжатой § 6. эллипсоид инерции. главные оси инерции

47

форме моменты инерции относительно любой центральной (т. е. проходящей через центр тяжести) оси; моменты же инерции относительно оси, не проходящей через центр тяжести, определятся из равенства (15).

В некоторых случаях самая конфигурация системы (п. 18) показывает, где находится центр тяжести и как направлены относящиеся к нему главные оси инерции. Принимая их за оси координат, можно сказать (п. 22), что все сводится к тому, чтобы определить три суммы:

S1 = 2 h = 2 mi!Jh Ч =2 тіг'и і і і

представляющие собой моменты инерции системы относительно главных плоскостей центрального эллипсоида инерции.

Полезно отметить, что если система S отнесена к главным осям инерции, проходящим через центр тяжести, то каждая из шести

сумм

2 ™їЧ, 2 тіУі> 2 misi, 2 щугч, 2 2 ЩхІУІ

і і і і і і

будет равна нулю; первые три равны нулю потому, что начало координат находится в центре тяжести, а вторые три (предыдущий пункт) — вследствие того, что осн координат являются главными осями инерции.

26. Главная ось инерции относительно центра тяжести является главной осью инерции также и относительно всякой другой своей точки.

Действительно, пусть О есть центр тяжести и Os —одна из главных осей инерции. Тогда будем иметь

А' = 2 тіУі*і = 0, В' = 2 IniSiXi = 0. і і

Взяв на Os какую-нибудь точку O1, отличную от О, положим OO1 = а и рассмотрим систему координат O1X^y1Zt оси которой X1, ух параллельны осям х, у и одинаково направлены с ними. Новыми координатами точки Pi (Xi, у{, Zi) будут Xi, У(, Zi — а, так что новые произведения инерции будут иметь значения

A11 = 2 ЩУі І — а) = 2 — а 2 mi!Jt, \

І І ^ ( ' )

B1 = Jmi (Zi — a) Xi = JmiZiXi — a JmiXi, [ і і і J

оба эти произведения инерции обращаются в нуль, потому что, по предположению, произведения инерции А', В' и статические моменты 48

ГЛ. X. ГЕОМЕТРИЯ МА.СС

2 ЩЩ, 2 тіУі равны нулю. Это и означает, что Oz является і і

главной осью инерции также и относительно любой ее точки О.

Предположим теперь, что О есть произвольная точка системы и что одна из ее главных осей инерции Oz проходит через центр тяжести O1; равенства (22), которые справедливы также и при этих предположениях, показывают, что если мы имеем

а' = в' = 2 щщ = 2 щУі = о, і і

то будут обращаться в нуль также и Ai и В[. Таким образом, если прямая является главной осью инерции относительно одной из своих точек и проходит через центр тяжести, то она будет также главной осью инерции относительно центра тяжести (и, следовательно, относительно всякой другой своей точки).

27. Если рассматриваемая система S имеет плоскость симметрии (п. 18), то 'достаточно принять ее за плоскость координат, чтобы два из произведений инерции обратились в нуль.

В самом деле, если плоскость симметрии принимается за плоскость S = о, то имеем

2 VniXiZi = 0, 2 ЩУ& — О, і і
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed