Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
40. Сферический сегмент. Для вычисления момента инерции сферического сегмента относительно оси симметрии сегмента достаточно будет в равенстве (27) предположить, что меридиан представляет собой окружность с центром на оси вращения, например, в начале координат. Если обозначим через R радиус этой окружности, т. е. радиус сферы, которой принадлежит сегмент, то будем иметь
f (z) = Vr?—Z2
и, следовательно,
I = ^J (Ri _ 2да + гdz =
Зі
= J { Д* (*„ ¦- Z1) -1 R? (el - z\) + I (4 _ Z51)}. 58
гл. x. геометрия ма.сс
Если сферический сегмент имеет только одно основание, то в предыдущей формуле надо положить
S1 =0.
УПРАЖНЕНИЯ
Примечание. Если речь будет идти о центре тяжести геометрической фигуры, то при этом будет подразумеваться, как в п. 4, что фигура однородна, т. е. что плотность заполняющего ее вещества постоянна.
1. Важное свойство положения центра тяжести, установленное в п. 11, можно получить прямым геометрическим путем, основываясь на том, что центр тяжести двух материальных точек лежит внутри соединяющего их отрезка, и принимая далее во внимание, что отрезок, соединяющий две точки выпуклой фигуры, за исключением его концов, лежит внутри фигуры.
2. Центр тяжести трапеции ABGB лежит на прямой (диаметральной) EF, соединяющей средние точки Е, F оснований AB и СВ. Разделив трапецию иа два треугольника посредством диагонали, применить свойство распределительности и правило моментов относительно каждого основания для доказательства того, что расстояния центра тяжести (70 от обоих оснований' находятся в отношении (2о + Ъ): (2b -j- а), где а и Ъ — длины оснований. Отсюда приходим к следующему построению. Продолжим AB на длину BH=BC и CB в противоположную сторону на длину BK = BA. Центр тяжести Cr будет тогда точкой пересечения EF с HK. Доказать это.
3. Показать, что центр тяжести кругового сектора лежит на радиусе, проходящем через середину его дуги, на расстоянии от центра, равном 2/3 расстояния центра тяжести соответствующей дуги.
4. Найти центр тяжести кругового сегмента.
5. Доказать, что центр тяжести сегмента параболы (части плоскости, заключенной между параболой и какой-нибудь хордой) лежит на сопряженном с хордой диаметре на расстоянии от нее, равном 2/6 хорды (Архимед).
в. Доказать, что центр тяжести сферической зоны (части сферической поверхности, заключенной между двумя параллельными плоскостями) находится на середине высоты.
7. Каждый элемент тела С (однородного или неоднородного) притягивает точку P с силой, прямо пропорциональной массе элемента и расстоянию его от Р. Доказать, что результирующая притяжения, испытываемого точкой Р, проходит через центр тяжести С.
8. Дана цилиндрическая ось длиной L и с радиусом г, по которой может скользить надетый на эту ось и соосный с ней цилиндрический диск толщиной Zhc внешним радиусом В. Диск и ось однородны, но плотность диека равна половине плотности цилиндрической оси. Пусть d есть расстояние от центра тяжести диска до центра тяжести цилиндрической оси. Найти центр тяжести системы.
9. Тело состоит нз центральной цилиндрической части (длиной I и с радиусом г) (фиг. 20), несущей на одном своем конце конус (высотой h упражнения
59
и с радиусом основания гг) и на другом конце полусферу (с радиусом г2). Все части тела состоят из одного и того же однородного материала. Найти центр тяжести тела.
Фиг. 20.
10. Найти центр тяжести октанта сферы.
11. Вторая теорема Гюльдена. Поверхность образована плоской кривой, вращающейся вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей эту кривую; площадь поверхности равна произведению длины кривой на длину дуги, описанной центром тяжести (на длину окружности, если речь идет о полном повороте).
12. Определить поверхность и объем тора, пользуясь теоремами Гюльдена.
13. Пусть а и Ь — полуоси эллипса и S — полуэллипс, находящийся с одной стороны от той оси, длина которой равна 21. Найти центр тяжести
4
площади S, пользуясь теоремой Гюльдена и известным выражением itя2Ь
о
объема, образованного полным вращением фигуры S.
14. Радиус инерции тела относительно какой-нибхдь оси равен гипотенузе прямоугольного треугольника, катетами которого являются: 1) радиус инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести, 2) расстояние между обеими осями.
15. Материальная система S состоит из двух частей S1 и <% Пусть I1 I2 и I—моменты инерции соответственно S1, S2 и S относительно параллельных между собой осей, проходящих через соответствующие центры тяжести.
Показать, что
I =I1 +Ii+ 2 V, 1 Ttll + щ
где W1, ш2 — массы частей S1 и S2 и Л — расстояние между соответствующими центральными осями.
16. Из трех главных моментов инерции, относящихся к одной и той же точке, ни один не может превзойти сумму двух других. Вывести отсюда, что если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то он может быть сколь угодно удлиненным, но не сколь угодно сжатым. Если назовем сжатием отношение (а — с)/а, где а означает экваториальный радиус и с — полярную полуось, то наибольшее значение, которое может иметь сжатие, есть 1—1/ УІГ.
