Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
так как для двух точек, симметричных относительно плоскости z = О, величины ті, хь yt одни и те же, в то время как Zi равны по величине, но противоположны по знаку. Поэтому члены суммы попарно сокращаются.
Таким образом, если система имеет плоскость симметрии, то всякий перпендикуляр к этой плоскости является главной осью инерции для своего основания.
Кроме того, если система имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то они необходимо будут главными плоскостями эллипсоида инерции относительно какой угодно точки прямой их пересечения.
Действительно, если примем эти плоскости за координатные пло-. скости, то, очевидно, обратятся в нуль все произведения инерции.
Эта теорема находит применение в случае тел вращения. Всякая меридианная плоскость, очевидно, есть плоскость симметрии, поэтому ось вращения является главной осью инерции для всякой ее точки, а соответствующие эллипсоиды инерции все будут эллипсоидами вращения вокруг этой оси.
28. Плоские системы. Если все точки системы лежат в одной плоскости, то момент инерции относительно какой-нибудь оси, перпендикулярной к этой плоскости, равен сумме моментов инерции § 6. ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ
49
относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости и проходящих через точку пересечения этой плоскости с первой осью.
Примем плоскость, в которой лежат точки системы, за плоскость z = 0, ось, перпендикулярную к плоскости, за ось z, а две другие взаимно перпендикулярные оси — за оси х ж у. Тогда для всякой точки mi системы имеем Zi = О, и, следовательно, на основании формулы (18) S3==O; поэтому из равенств (19) найдем:
A = Su B = S2, (7 = s1-J-s2 = J.-J-J3, что и доказывает наше утверждение.
29. Эллипс инерции. В некоторых случаях важно изучить распределение моментов инерции относительно осей, лежащих в некоторой плоскости it и пересекающихся в одной точке О. Типичным примером такого случая будет система материальных точек, лежащих в одной плоскости (предыдущий пункт). Изменение моментов инерции относительно осей, лежащих B плоскости 1t системы и проходящих через одну точку О, согласно с геометрическим истолкованием, изложенным в п. 28, определяется эллипсом инерции е, который получается при пересечении с плоскостью it эллипсоида инерции E относительно О. Если эллипс е отнесен к его главным осям 01, Ori и соответствующие моменты инерции обозначены через H и К, то уравнение этого эллипса имеет вид
Л?» 4-JSTiJ9 = I. (23)
Момент инерции Ir относительно какой-нибудь прямой г, лежащей в плоскости it и проходящей через точку О, если направляющие косинусы этой прямой относительно осей системы Ob] равны а и р, может быть представлен в виде
Ir = Hot?K^. (24)
Докажем теперь следующее замечательное свойство эллипса инерции е: Расстояние от центра О до какой-нибудь касательной к эллипсу инерции пропорционально моменту инерции Ir относительно прямой, проходящей через О и параллельной рассматриваемой касательной, и (по абсолютной величине) равно
р- /Ж- (2&)
Действительно, если обозначим через S1, Irj1 координаты точки касания, то из уравнения касательной
Hlfi-iT KrilTl = I
будет следовать, что направляющие косинусы перпендикуляра на касательную (направленного от О к касательной) и длина р этого 50
ГЛ. X. ГЕОМЕТРИЯ МА.СС
перпендикуляра определятся выражениями
Sil ETri1 1
VIpe1+Krf1' Унчі + кці' Vh^I+ Krf1 '
Отсюда следует, что направляющими косинусами прямой г, параллельной касательной и проходящей через точку О (ориентированной в том или другом направлении), будут
а = _=J^=в±ї?) ? = —тШШ= =
Vrne1+ KW1 Vml +Krf1
так что равенство (24) примет вид
Ir = HKiHll +KflI) P2; а так как в силу равенства (28) оно сводится к равенству .
Ir = HKp2,
то формула (25) тем самым доказана.
30. Из только что установленных свойств следует, что, если для всякой прямой г, проходящей через точку О, проведены с той и другой стороны параллельные ей прямые, находящиеся от О на расстоянии р' — k Vlr • где к есть произвольный постоянный коэффициент пропорциональности, то огибающая полученных таким образом прямых будет эллипсом е', гомотетичным 1J эллипсу е'\ отношение гомотетии (отношение подобия) между эллипсами е' и е будет p'lp, или, на основании формулы (25),_А V HK.
Если, в частности, мы возьмем X = 2/ У т, где т означает массу системы, то получим такой эллипс е0, что расстояние каждой его касательной от параллельной ей прямой г, проходящей через центр, будет равно Vlrlm> т- е- радиусу инерции Sr системы относительно прямой г. Так как отношение гомотетии между эллипсами е0 и е равно V HKjm, то уравнение эллипса е0 будет иметь вид
= Ж
или, если обозначим через h и Tc радиусы инерции, соответствующие двум осям Oi, Оц, так что Н=т№, К=т№,
Р2 т2
— -J-— = 1
Следовательно, полуоси эллипса, лежащие на прямых 05 и Ov), равны соответственно радиусам инерции относительно Oi] и OE;
!) Определение гомотетии см. Ж. А д а м а р, Элементарная геометрия,
ч. I, стр. 125; ч. II, стр. 121, Учпедгиз, 1938. {Прим. перее.) § ї. моменты инерции тел, поверхностей и линий
