Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
I=J04-md2, r = I0 + md'%
где через d' обозначено расстояние от центра тяжести до прямой г', или же расстояние между осями г' и г0. Исключив J0, получим
J' = J+m(d'2 — d2).
При заданных предположениях величины в правой части все известны.
X/
Фиг. 17.
22. Моменты инерции относительно пересекающихся осей. Определив, каким образом изменяется момент инерции, когда ось, к которой он относится, изменяет положение, но не направление, рассмотрим поведение момента инерции относительно оси, проходящей через точку О и изменяющей свое направление в пространстве.
Поместим в О начало координат (фиг. 17), и пусть а, (3, f будут направляющими косинусами прямой г (на которой установлено определенное направление как положительное). Из прямоугольного треугольника OPiQi видно, что расстояние Si любой точки Pi системы S от оси г определяется соотношением
8 J = OPJ-OQ';
так как 0Р| == х\ + у] -f г*, а проекция OQ. вектора OPi на ось г равна XiI -f у $ -)- г Л» то будем иметь
8J = + yj + 4 — (XiCt -f + Vff =
— (і а2) a^ 4~ (і — ?2) (і — if2)
— ^viis І — 2 IasiXi — 2 VfixiIJi.
Если вместо а2 4- ?2 4" Y2 напишем единицу, то после перегруппировки членов получим')
Щ = «2 {'А + ф 4- ?2 К 4- 4- Y2 014- >ф -
— ЩУІ3І — ^aziXi — 2\а^х(у{;
*) Выражение Bi можно было бы также получить, рассматривая момент относительно точки Pi единичного вектора оси г, который мы представим себе приложенным в О, Проекции этого момента определяются (гл. I, п. 27) 44
гл. x. геометрия ма.сс
поэтому будем иметь
і=2 =«2 2 (Vi + *S)+?a 2 Щ 2 (А4-уЪ-
і і і і
— 2?f 2 тіУі3і — 2T3t 2 misixi — 2a? 2 тіхіУі і і і
или
I= А<&-\- Bfi2-{- Cf — 2А'Рі — 2./>'> — 2C"a?, (16) где положено
A = 2 (ж< + уЬ, B = J »h (4 + <7=2% («< + І/?).
A'=Jt MiIjiZi, В' = JmiZiXi, C = JmiXiIji.
і і і
Равенство (16) определяет момент инерции относительно произвольного направления а, ?, ¦(, проходящего через О, в функции от шести постоянных Л, В, С, А', В', С, зависящих, как мы видим, от распределения масс в системе, но не от частного выбора оси г. В правой части равенства (16) стоит однородная квадратичная функция от a, ?, у, которая не изменится, если одновременно изменить а, ?, Y на — а, — ?, — Y- Это можно было предвидеть, так как при замене a, ?, Y на —а, —?, —y изменяется только сторона, которую надо приписать г, а не сама прямая, момент же инерции I, как это видно из его определения, не зависит от направления, выбранного на прямой.
Коэффициенты А, В, С представляют собой моменты инерции относительно осей координат, как это видно из формулы (16), если подставить в нее вместо a, ?, *f соответственно 1, 0, 0; 0, 1,.0;
О, О, 1. Остальные три коэффициента А' = 2 тїУі3ь = JmiZiXi,
і і
С' = J тіхіуі обычно называют произведениями инерции или і
также (по причине, которая будет выяснена в динамике твердого тела) моментами девиации').
минорами матрицы
Уі
а р Т
и, следовательно, квадратом модуля момента будет
(?*< - Wi)2 + (т - «i)J + (т - К-)3-
Модуль момента единичного вектора (произведение единицы на расстояние от точки Pi до оси г) по величине совпадает, очевидно, с ог.
В русской литературе их чаще всего называют центробежными моментами инерции. См., например, Г. К. Суслов, Теоретическая механика, 1946, стр. 255. (Прим. ред.) § 6. эллипсоид инерции. главные оси инерции
45
Согласно равенству (17), определение трех моментов инерции А, В, G приводится к определению трех сумм:
S1 = JmiX2i, S2=Jniiy2i, Sa = JmiS2, (18)
і і і
которые можно истолковать как моменты инерции системы относительно координатных плоскостей. Действительно, имеем тождественно
A = s^-\-sa, .B = S3-J-S1, С = S1 -f- s2. (19)
§ 6. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции.
Замечательные частные случаи
23. Закону изменения моментов инерции относительно оси, проходящей через неподвижную точку и изменяющей свое направление в пространстве, который аналитически выражается равенством (16), можно придать наглядное геометрическое истолкование.
Представим себе, что на каждом луче а, ?, y, выходящем из точки О, откладывается от О отрезок
0L = yf, (20)
где I есть квадратичная функция от а, ?, y, определенная равенством (16).
Если исключим частный случай, когда все точки Pi системы S лежат на одной прямой, проходящей через О, то момент инерции
I=Jт$ не может быть нулем ни для какого направления л, і
?, y» проведенного через О", величина IjV I, соответствующая всякому лучу, будет поэтому числом конечным, а геометрическое место E точек L представит замкнутую поверхность, окружающую точку О и симметричную относительно нее, потому что на двух противоположных лучах точки L лежат на одном и том же расстоянии от О, как это следует из равенства (20); вспомним (предыдущий пункт), что I не изменяется, когда изменяется знак у а, ?, *f- Теперь легко найти и уравнение поверхности. В самом деле, обозначив через х, у, z координаты любой точки L поверхности, будем иметь
X = OL • а = -у=, y = OL-p = -f=, Z = OL-T-
