Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 17

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 134 >> Следующая


I=J04-md2, r = I0 + md'%

где через d' обозначено расстояние от центра тяжести до прямой г', или же расстояние между осями г' и г0. Исключив J0, получим

J' = J+m(d'2 — d2).

При заданных предположениях величины в правой части все известны.

X/

Фиг. 17.

22. Моменты инерции относительно пересекающихся осей. Определив, каким образом изменяется момент инерции, когда ось, к которой он относится, изменяет положение, но не направление, рассмотрим поведение момента инерции относительно оси, проходящей через точку О и изменяющей свое направление в пространстве.

Поместим в О начало координат (фиг. 17), и пусть а, (3, f будут направляющими косинусами прямой г (на которой установлено определенное направление как положительное). Из прямоугольного треугольника OPiQi видно, что расстояние Si любой точки Pi системы S от оси г определяется соотношением

8 J = OPJ-OQ';

так как 0Р| == х\ + у] -f г*, а проекция OQ. вектора OPi на ось г равна XiI -f у $ -)- г Л» то будем иметь

8J = + yj + 4 — (XiCt -f + Vff =

— (і а2) a^ 4~ (і — ?2) (і — if2)

— ^viis І — 2 IasiXi — 2 VfixiIJi.

Если вместо а2 4- ?2 4" Y2 напишем единицу, то после перегруппировки членов получим')

Щ = «2 {'А + ф 4- ?2 К 4- 4- Y2 014- >ф -

— ЩУІ3І — ^aziXi — 2\а^х(у{;

*) Выражение Bi можно было бы также получить, рассматривая момент относительно точки Pi единичного вектора оси г, который мы представим себе приложенным в О, Проекции этого момента определяются (гл. I, п. 27) 44

гл. x. геометрия ма.сс

поэтому будем иметь

і=2 =«2 2 (Vi + *S)+?a 2 Щ 2 (А4-уЪ-

і і і і

— 2?f 2 тіУі3і — 2T3t 2 misixi — 2a? 2 тіхіУі і і і

или

I= А<&-\- Bfi2-{- Cf — 2А'Рі — 2./>'> — 2C"a?, (16) где положено

A = 2 (ж< + уЬ, B = J »h (4 + <7=2% («< + І/?).

A'=Jt MiIjiZi, В' = JmiZiXi, C = JmiXiIji.

і і і

Равенство (16) определяет момент инерции относительно произвольного направления а, ?, ¦(, проходящего через О, в функции от шести постоянных Л, В, С, А', В', С, зависящих, как мы видим, от распределения масс в системе, но не от частного выбора оси г. В правой части равенства (16) стоит однородная квадратичная функция от a, ?, у, которая не изменится, если одновременно изменить а, ?, Y на — а, — ?, — Y- Это можно было предвидеть, так как при замене a, ?, Y на —а, —?, —y изменяется только сторона, которую надо приписать г, а не сама прямая, момент же инерции I, как это видно из его определения, не зависит от направления, выбранного на прямой.

Коэффициенты А, В, С представляют собой моменты инерции относительно осей координат, как это видно из формулы (16), если подставить в нее вместо a, ?, *f соответственно 1, 0, 0; 0, 1,.0;

О, О, 1. Остальные три коэффициента А' = 2 тїУі3ь = JmiZiXi,

і і

С' = J тіхіуі обычно называют произведениями инерции или і

также (по причине, которая будет выяснена в динамике твердого тела) моментами девиации').

минорами матрицы

Уі

а р Т

и, следовательно, квадратом модуля момента будет

(?*< - Wi)2 + (т - «i)J + (т - К-)3-

Модуль момента единичного вектора (произведение единицы на расстояние от точки Pi до оси г) по величине совпадает, очевидно, с ог.

В русской литературе их чаще всего называют центробежными моментами инерции. См., например, Г. К. Суслов, Теоретическая механика, 1946, стр. 255. (Прим. ред.) § 6. эллипсоид инерции. главные оси инерции

45

Согласно равенству (17), определение трех моментов инерции А, В, G приводится к определению трех сумм:

S1 = JmiX2i, S2=Jniiy2i, Sa = JmiS2, (18)

і і і

которые можно истолковать как моменты инерции системы относительно координатных плоскостей. Действительно, имеем тождественно

A = s^-\-sa, .B = S3-J-S1, С = S1 -f- s2. (19)

§ 6. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции.

Замечательные частные случаи

23. Закону изменения моментов инерции относительно оси, проходящей через неподвижную точку и изменяющей свое направление в пространстве, который аналитически выражается равенством (16), можно придать наглядное геометрическое истолкование.

Представим себе, что на каждом луче а, ?, y, выходящем из точки О, откладывается от О отрезок

0L = yf, (20)

где I есть квадратичная функция от а, ?, y, определенная равенством (16).

Если исключим частный случай, когда все точки Pi системы S лежат на одной прямой, проходящей через О, то момент инерции

I=Jт$ не может быть нулем ни для какого направления л, і

?, y» проведенного через О", величина IjV I, соответствующая всякому лучу, будет поэтому числом конечным, а геометрическое место E точек L представит замкнутую поверхность, окружающую точку О и симметричную относительно нее, потому что на двух противоположных лучах точки L лежат на одном и том же расстоянии от О, как это следует из равенства (20); вспомним (предыдущий пункт), что I не изменяется, когда изменяется знак у а, ?, *f- Теперь легко найти и уравнение поверхности. В самом деле, обозначив через х, у, z координаты любой точки L поверхности, будем иметь

X = OL • а = -у=, y = OL-p = -f=, Z = OL-T-
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed