Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 13.7. «Условие энергодоминантности», налагаемое на Tvv, требует, чтобы, во-первых, удовлетворялось слабое энергетическое условие (плотность энергии неотрицательна для всех наблюдателей) и, во-вторых, для всех наблюдателей плотность энергии была бы больше или равна модулю 3-вектора плотности потока энергии. Покажите, что утверждение
и • (— Т)" • и =s? О
для всех непространственноподобных векторов и сводится к слабому энергетическому условию при п = 1 и условию энергодоминантности при га = 2. Как обстоит дело при п>2? [Мы полагаем (TVeTlieTov и т. д.]
Задача 13.8. Возможно ли подобрать такое распределение материи, являющееся решением уравнений поля Эйнштейна, которое соответствует пустому пространству в направлении к прошлому от некоторой гиперповерхности постоянного времени t = О, но в направлении к будущему от этой гиперповерхности имеется некоторый ненулевой тензор Tibv?
Задача 13.9. Пусть имеется некоторая статическая метрика, создаваемая тензором энергии-импульса идеальной жидкости. Покажите, что вектор 4-скорости жидкости параллелен вектору Киллинга, сопряженному времени. 84
ГЛАВА Ij
Задача 13.10. Сколько числовых значений необходимо задать в каждой точке гиперповерхности Коши (начальных данных), чтобы однозначно определить эволюцию метрики от этой гиперповерхности? [Указание. Покажите вначале, что вторые производные по времени от метрики содержатся только в пространственных компонентах тензора Эйнштейна.]
Задача 13.11. Для «почти ньютоновской» метрики
ds* = — (1 + 2Ф) dt2 + (1 - 2Ф) Sjk dx) dx*
требуется вычислить в первом неисчезающем порядке по Ф компоненты псевдотензора энергии-импульса Ландау—Лифшица ^Pn-л (см. [7], 6-е изд., стр. 358). При этом предполагается, что поле меняется во времени так медленно, что производными Ф по времени можно пренебречь по сравнению с пространственными производными.
Задача 13.12. Калибровочным преобразованием называется инфинитезимальное координатное преобразование, переводящее координаты X^ точки P в новые координаты х^" согласно формуле XVT(P)=ZXV.' (P)JrIv-(P).
Такие преобразования приводят к изменению (в первом порядке по I) функционального вида тензоров. Найдите законы калибровочного преобразования для скаляров, а также для компонент векторов и тензоров 2-го ранга. Для линеаризованных возмущений метрики Яцу = 1Inv+Vv покажите, в частности, что
h\iv M = /luv (х) 2|((llV1.
Задача 13.13. Покажите, что в линеаризованной теории компоненты тензора Римана — Кристоффеля суть
^an?v = (^av,n? ~Ь Чф. va fyiv, a? ~~ fyx?, цл>).
Продемонстрируйте также в явном виде, что такой тензор Римана инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям.
Задача 13.14. В линеаризованной теории часто вместо обычного тензора возмущений метрики Ziap используется тензор «с обратным следом»
/la? —h a?--2 xIa^aa-
Покажите, что всегда существует калибровочное преобразование к «лоренцевской калибровке», в которой дивергенция равна нулю. Является ли это калибровочное преобразование единственным? ЗАДАЧИ
77
Задача 13.15. Покажите, что в лоренцевской калибровке
(см. задачу 13.14) линеаризованные уравнения поля сводятся к уравнениям
I I ^nv = fy.iv,а 'а = 16я J1fiv,
где fyiV — тензор fyiV «с обратным следом».
Задача 13.16. В линеаризованной теории плоскую гравитационную волну, распространяющуюся в пустом .пространстве-времени, можно представить в виде действительной части комплексного выражения
fy« = Re MinA^],
где ^tiv — некоторый постоянный тензор. Покажите, что вектор к должен быть изотропным и что А ортогонально к.
Для отдельного наблюдателя с 4-скоростью и в невозмущенной системе покоя данного наблюдателя (м° = 1, и' = 0) можно определить «поперечно-бесследовую» калибровку (более специальный вид лоренцевской калибровки) следующим образом:
ZVo = O, Z1Z = O.
Найдите калибровочное преобразование, позволяющее прийти к такой калибровке. Остается ли при этом тензор А ортогональным к?
Задача 13.17. Покажите, что в рамках линеаризованной теории между двумя параллельными узкими световыми лучами отсутствует сила гравитационного притяжения.
Задача 13.18. Жесткая сферическая оболочка радиуса R и пренебрежимо малой толщины медленно вращается с постоянной угловой скоростью Q по отношению к удаленным инерциальным системам отсчета. Полная масса, равномерно распределенная по оболочке, равна М. Используйте линеаризованные уравнения гравитации для определения и (угловой скорости увлечения инерциальных систем внутри оболочки) с точностью до первого порядка по QR 1. Покажите, что угловая скорость
S0m 4 MQ —:— + 0^
т. е. постоянна всюду внутри оболочки. [Иногда утверждают, что факт постоянства со внутри полости означает, что уравнения Эйнштейна до определенной степени удовлетворяют принципу Aiaxa. J 84
ГЛАВА Ij
Задача 13.19. В рамках линеаризованной теории тяготения покажите, что уравнения движения вещества Tttvjv = O не согласуются с уравнениями поля для возмущений метрики. Покажите также, что это несовпадение будет второго порядка по возмущению метрики, так что в первом порядке им можно пренебречь.
