Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
б) Доказать, что линейная комбинация векторов Киллинга с постоянными коэффициентами является вектором Киллинга.
Задача 10.4. Доказать, что в евклидовом 3-пространстве три вектора Киллинга, описывающие повороты вокруг осей х, у и г, линейно независимы в любой заданной точке, но ни одна линейная комбинация их с постоянными коэффициентами не равна нулю. Доказать, что в силу этого генераторы группы вращенийЗАДАЧИ
77
О (3) порождают 2-мерную поверхность, хотя сама группа 3-мерна. Объяснить, почему так происходит.
Задача 10.5. Метрика для аксиально симметричной вращающейся звезды допускает 2 вектора Киллинга и |(ф). Предположим, что других независимых векторов Киллинга не существует. Доказать, что и |(ф) коммутируют.
Задача 10.6. Доказать, что любой вектор Киллинга является решением уравнения
Vі \ X-=
Найти вариационный принцип, аналогичный принципу Гамильтона, из которого можно вывести это уравнение.
Задача 10.7. Пусть | —вектор Киллинга. Доказать, что
Іц; a? — ^\?aniV-
Задача 10.8. Метрика «стационарна» в том и только в том случае, если она обладает векторным полем Киллинга §, време-ниподобным на бесконечности («временное» направление задается оператором д/ді). «Статическую» метрику можно определить двумя способами:
1) как стационарную метрику, инвариантную относительно обращения времени д/ді -*~ — d/dt,
2) как стационарную метрику с гиперповерхностно ортогональным (см. задачу 7.23) направлением d/dt.
Доказать, что оба определения эквивалентны.
Задача 10.9. В плоском пространстве-времени Минковского найти 10 линейно независимых векторов Киллинга.
Задача 10.10. Доказать, что если I(Xli) — векторное поле Киллинга и и — касательный вектор к некоторой геодезической, то скалярное произведение | • и постоянно вдоль этой геодезической.
Задача 10.11. Пусть | —вектор Киллинга, Т —тензор энергии-импульса. Доказать, что
уп _ T^vgv
— сохраняющаяся величина, т. е. что
Jfxiil = 0.
Какой смысл имеет J, когда | — времениподобный вектор Киллинга?84
ГЛАВА Ij
Задача 10.12. Пусть Т —тензор энергии-импульса, | —време-ниподобный вектор Киллинга. Доказать, что интеграл по про-странственноподобной гиперповерхности
f
не зависит от выбора пространственноподобной гиперповерхности F.
Задача 10.13. В плоском пространстве-воемени задан тензор энергии-импульса с нулевой дивергенцией.
T^, V = 0, Ram = O.
Доказать, что в этом случае можно построить 10 глобальных законов сохранения и, следовательно, 10 сохраняющихся величин.
Задача 10.14. Доказать, что если § — времениподобный вектор Киллинга и u = |/11 • 11 2 — 4-скорость, то a = VuU = у V In 11 ¦ 11.
Задача 10.15. В стационарной метрике с времен и подобным вектором Киллинга | «энергия на бесконечности» JE1 = -P-I пробной частицы с 4-импульсом р сохраняется. Найти минимальное значение, которое может принимать в заданной точке пространства-времени величина Е/ц для пробной частицы (ц. —масса частицы), и выразить его через норму вектора |.
Задача 10.16. Доказать, что вектор Киллинга является допустимым решением для векторного потенциала уравнений Максвелла, записанных для пробного поля в пустом пространстве-времени. Какое электромагнитное поле соответствует вектору Киллинга д/д<р в пространстве Минковского?ГЛАВА II МОМЕНТ
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
В эту главу включены задачи из общей теории относительности, связанные с вращением, моментом количества движения, спином и т. д. Все необходимые определения приведены в задачах.
Задача 11.1. В специальной теории относительности частица, находящаяся в точке В пространства-времени с 4-импульсом р, обладает относительно события А моментом количества движения
J = Ax <8» р — р <8>
где Ax-4-вектор, идущий из события А в событие В (фиг. 2).
1) Доказать, что для свободно (т. е. без ускорения) движущейся частицы величина J сохраняется, т. е. dJZdr = O.
2) Предположим, что в точке В пространства-времени несколько частиц сталкиваются, порождая несколько других частиц. Доказать, что сумма моментов- количества движения частиц относительно события А до столкновения равна сумме моментов количества движения после столкновения
Фиг. 2.
частиц относительно события А
У! J (к) |после — У, J (к) |до. (к) (к)84
ГЛАВА Ij
Задача 11.2. Доказать, что:
а) полный момент количества движения изолированной системы в плоском пространстве
№=в\й3х(хаП°-хРТа0)
— сохраняющийся тензор (Гар , р = 0), но
б) не инвариантен относительно преобразования координат ха-*ха + аа.
Доказать также, что
в) 4-вектор спина
5a = -yea?YOy?vMo
сохраняется и
г) инвариантен относительно трансляций. Здесь иа — 4-ско-рость центра масс
Pa- полный импульс
Pa з= J daxTa0.
Задача 11.3. Доказать, что 4-вектор Sa внутреннего спина системы ортогонален ее 4-скорости иа.
Задача 11.4. Доказать, что гироскоп, к которому не приложены никакие моменты, переносит вектор своего спина по Ферми — Уокеру.
Задача 11.5.
а) Момент количества движения вычислен относительно центра масс системы. Доказать, что =