Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 15.17. Для метрики предыдущей задачи (15.16) покажите, что множество наблюдателей, неподвижных в данной
4 Заказ 110 84
ГЛАВА Ij
системе координат, соответствует наблюдателям, каждый из которых находится в состоянии свободного падения и обладает нулевой энергией (другими словами, все они падают из бесконечности с нулевой начальной скоростью).
Задача 15.18. Рассмотрим сферически-симметричную аккрецию на шварцшильдовскую черную дыру массы M идеально адиабатического газа с уравнением состояния р = КпУ, где постоянная у удовлетворяет соотношению 4/з<7<6/з- На бесконечном удалении от черной дыры в радиальном направлении скорость звука в газе равна Ctix- При каком значении радиуса направленный внутрь поток станет сверхзвуковым? (Дайте ответ с точностью лишь до главного члена разложения по aw/c.)
Задача 15.19. Скалярное поле Ф удовлетворяет уравнению ЦФ = 0. Покажите, что в шварцшильдовской геометрии Ф можно разложить по сферическим гармоникам:
Ф = гЧ>(г, *)Г/т(0, Ф),
где Yfm — сферическая гармоника, а удовлетворяет уравнению «- (і - mir) [(і - mir) ?,r\ г+Vf (г) ф=о,
здесь
Задача 15.20. Покажите, что метрика Шварцшильда является также решением уравнений поля теории тяготения Бранса —Дикке (уравнения поля теории Бранса —Дикке приведены в книге [2] стр. 174). ГЛАВА 16
СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ И РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МОДЕЛИ СТРОЕНИЯ ЗВЕЗД
Геометрия, порождаемая невращающейся звездой, состоящей из идеальной жидкости, является сферически-симметричной. В пространстве вне звезды она представляет собой шварцшиль-довскую геометрию, даже если звезда не является статической: например, испытывает радиальные пульсации или коллапсирует. Для статической звезды внутреннюю метрику можно записать в виде
ds2 = — е2ф dt2 + (1 - 2 m/r)-1 dr2 + г2 dQ2,
где
T
т = J 4яг2р dr. о
Градиент давления внутри звезды дается уравнением гидростатического равновесия Оппенгеймера — Волкова:
— _ (Р + Р) (т +AnrsP) dr r (г — 2т)
Здесь р и р — соответственно давление и плотность массы-энергии вещества, удовлетворяющие уравнению состояния
р = р{п, Т), P=PK Т).
Если внутри звезды значение энтропии на один барион s постоянно, то р зависит только от р: р = р (р). Метрическая функция Ф определяется эйнштейновскими уравнениями поля:
где R — радиус звезды, a M = m(R) — ee полная масса (та самая масса, которая входит в выражение для внешней шварцшиль-довской метрики).
Равновесные модели звезд могут быть неустойчивы по отношению к гравитационному коллапсу; в этом случае необходимо пользоваться динамическими уравнениями, полученными из эйн-Иггейновских уравнений поля и/или из уравнения Tlfivjv = O. Стационарно вращающаяся звезда обладает уже не сфери- 84
ГЛАВА Ij
ческой, а всего лишь аксиальной, или цилиндрической, симметрией. Уравнения, описывающие строение аксиально-симметричных звезд, довольно сложны; тем не менее некоторые общие закономерности можно в этом случае найти либо из соображений симметрии, либо же в предположении, что звезда вращается жестким образом.
Задача 16.1. Найдите систему базисных векторов (и соответствующий дуальный базис 1-форм) (см. введение к гл. 8) для ортонормированного репера в сферической геометрии. Считайте, что «ножки» (базисные векторы) репера ориентированы вдоль направлений t, г, ft и <р в системе изотропных координат, где метрика имеет вид
ds2 = — е2ф dt2 + е^ (dr2 + га <Ша).
Задача 16.2. Предположим, что наблюдатель, покоящийся в некоторой точке внутри сферической релятивистской звезды, измеряет при помощи обычных лабораторных методов действующую на малый элемент объема V выталкивающую силу Fttbnam, возникающую за счет радиального градиента давления. Как будет выражаться измеренное им значение ^ВЬІіалк через р, р, т, V и dp/dr? Если наблюдатель приравняет найденную выталкивающую силу равной и противоположно направленной силе тяготения, ^грав, то каково будет выражение для Frpae как функции р, р, т, V и г? В чем эти результаты отличаются от соответствующих ньютоновских результатов?
Задача 16.3. Докажите знаменитую теорему Биркгофа: сферически-симметричное гравитационное поле в пустоте всегда является статическим и всегда представляет собой некоторое решение типа Шварцшильда.
Задача 16.4. Покажите, что пробные частицы, находящиеся внутри самогравитирующей полой сферы, не испытывают воздействия гравитационных сил.
Задача 16.5. Покажите, что в теории тяготения Бранса — Дикке (соответствующие уравнения поля приведены в книгах [1], т. 3, стр. 315 или [2], стр. 175) единственным статическим сферически-симметричным решением в пустоте, несингулярным в начале координат, является метрика плоского пространства rj и постоянное скалярное поле Ф. ЗАДАЧИ
77
Задача 16.6. Каким числом алгебраически независимых компонент обладает тензор Tvy, описывающий некоторую сферически-симметричную конфигурацию?
Задача 16.7. Найдите все четыре компоненты уравнения Т"Р; и = 0 для тензора энергии-импульса, описывающего статическую сферически-симметричную звезду, состоящую из идеальной жидкости.
