Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 9.4. Вычислить все не обращающиеся в нуль компоненты тензора Римана Rykt (і, /, k, I = ft, ф) для метрики
ds2 = rs(dft2 + sin2ft^2)
2-сферы.
Задача 9.5. Найти символы Кристоффеля и компоненты тензора кривизны Римана в 2-мерном пространстве-времени:
ds2 = dv2 — V2 du2.
Задача 9.6. Ввести систему координат на торе (2-мерной поверхности «бублика» в 3-мерном евклидовом пространстве). Вычислить ВСЄ КОМПОНеНТЫ g^v, ГmV^ И Rafiyfl-
Задача 9.7. В пространстве с размерностью, меньшей 4, тензор Римана удается записать весьма просто.
а) Найти тензор Римана в 1-мерном пространстве.
б) Выразить тензор Римана в 2-мерном пространстве через метрический тензор и скаляр Риччи.
в) Выразить тензор Римана в 3-мерном пространстве через метрический тензор и скаляр Риччи.
Задача 9.8. Доказать соотношение
2 Va- [vx] = Va; VH Vu; HV — VgRaam
3 Заказ 1 10 84
ГЛАВА Ij
и обобщить его для коммутатора вторых производных тензора произвольного ранга Ta... P • • •.
Задача 9.9. Доказать, что вторые производные скалярного поля коммутируют (т. е. S;a? = S;?a). Для третьих производных •S;(a?)Y вычислить S- (a?)Y И S;a[?Y].
Задача 9.10. Доказать, что для любого тензора второго ранга
= ^ivtl.
Задача 9.11. Бесконечно малый контур в форме параллелограмма можно задать при помощи дифференциальных перемещений и, V, являющихся сторонами параллелограмма. Вектор А переносится параллельно вдоль этого контура (т. е. перемещается последовательно на u, v, —и, —v). Доказать, что приращение вектора А, вызванное переносом вдоль бесконечно малого параллелограмма, равно
6Ла = —
Задача 9,12. Тензор кривизны Римана можно вычислить при помощи оператора Римана R, определенного соотношением
R (А, В) С = (VAVB-VBVA-V[A. В1) С.
а) Доказать, что оператор R в точке P линеен по аргументам А, В и С и зависит только от их значений в точке Р, а не от того, каким образом они изменяются в окрестности точки Р.
б) Доказать, что
(R (А, В) С=
Задача 9.13. На двух «соседних» геодезических аффинные параметры заданы так, что близким точкам соответствует мало отличающиеся значения аффинного параметра L Пусть uas=sdx?/dX — касательная к одной из геодезических, а п —бесконечно малый вектор, соединяющий точки, соответствующие равным значениям аффинных параметров на двух геодезических. Доказать, что расхождение геодезических удовлетворяет уравнению
^ + ^eUfW = 0.
Задача 9.14. В подходящим образом выбранной системе координат гравитационное поле Земли приближенно (с точностью до наименьшего, не обращающегося в нуль порядка по М/г) опи- ЗАДАЧИ
77
сывается метрикой
ds2 = — (1 - 2M/r) dt2 + (1 + 2M/г) (dx2 + dy2 + dz2), г ^ (x2 + у2 + z2)'\
М — масса Земли (с = C=I). Предположим, что спутник «Скайлэб» обращается вокруг Земли по круговой экваториальной орбите. Чему равен период его обращения? Космонавт запускает контейнер с мусором на близкую орбиту и наблюдает за движением контейнера относительно «Скайлэба». В некоторый момент времени удаление контейнера от «Скайлэба» описывается вектором
ii = xi (контейнер) — xі (Скайлэб).
Пользуясь уравнением для расхождения геодезических, найти компоненты относительного движения как функции времени.
Задача 9,15. Доказать циклическое тождество Rafryo 4" RaSfiy + Ruyifr = ^
и тождества Бианки
Ra6$y, V + ^a&v?; у + Rabyv; ? = 0.
Задача 9.16, Доказать, что нулевая дивергенция тензора Эйнштейна
Gjxv = R [IV 2" SiivR (т. е. G%;n = 0) следует из тождеств Бианки.
Задача 9.17. Доказать, что обращение в нуль тензора Римана является достаточным условием для того, чтобы пространство-время было пространством Минковского, т. е. для приведения метрического тензора ^v при помощи преобразования координат к виду Tlnv.
Задача 9.18. Пучок света в некоторой точке имеет в поперечном сечении форму круга. Доказать, что этот пучок света не испытывает растяжения в поперечном направлении (т. е. его поперечное сечение не деформируется в эллипс), если тензор Вейля равен нулю.
Задача 9.19. Вычислить тензор Римана, гензор Риччи и скалярную кривизну конформно-плоской метрики guv —e24pInv. где Ф = Ф (д41) — произвольная функция.
3» 84
ГЛАВА Ij
Задача 9.20. Вычислить в ортонормированном репере тензор Римана для метрики
ds2 = — е2а dt2+е2» dra + e2v (dv2 + sin2 V гіф4), а> ?» Y- функции от r, t.
Найти для этой метрики тензор Риччи, скалярную кривизну и тензор Эйнштейна.
Задача 9.21. Рассмотрим тензор Римана, соответствующий плоской гравитационной волне, т. е. Ra$y6 = Rafryi (и), где и — «запаздывающее время» (Vm-Vm = O). Найти число независимых компонент такого тензора Римана. При решении задачи не вводить предположения о том, что Ra$y6 удовлетворяет уравнениям поля Эйнштейна.
Задача 9.22. В некоторый момент времени измерены координатные ускорения (d2xa/dx2) для п близко расположенных пробных частиц. При каком наименьшем значении п по данным измерений удастся восстановить все компоненты Piv и при каком все компоненты /?%0?
Задача 9.23. Пусть А и В —два линейно-независимых вектора, касательных в некоторой точке к 2-мерной поверхности в пространстве размерности 5=2. Величина
