Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 12.5. «Эддингтоновским пределом» светимости звезды заданной массы M называется светимость, при которой всюду внутри звезды направленное наружу световое давление в точности уравновешивается направленной внутрь силой тяготения. Вычислите это значение. (Можно считать, что все вещество звезды состоит из полностью ионизованного водорода.)
Задача 12.6. Показать, что электрон, помещенный в центр откачанного идеально проводящего замкнутого сосуда, находящегося в однородном гравитационном поле, не будет падать под действием сил тяжести. (Под «идеальным проводником» понимается идеально жесткая решетка положительных зарядов, содержащая идеально подвижные электроны проводимости.)
Задача 12.7. Тонкий цилиндрический теплоизолированный сосуд высотой h заполняется воздухом при температуре 300 К, после чего запаивается и помещается на весы на уровне моря. Весы показывают, что вес сосуда с воздухом равен W. Для какого интервала значений h вес W будет уменьшаться при постепенном нагревании содержимого сосуда?
Задача 12.8. Определим тензор напряжений, соответствующий ньютоновскому гравитационному потенциалу U, следующим образом:
Tjk ^ ± (UjUik-^jkUiflU.").
Покажите, что ньютоновские уравнения движения для испытывающего напряжения вещества с собственной плотностью р0, движущегося со скоростью V, можно записать в виде
= "air (7V*+ */*)•
(Po Vjh + (rJk + fa + Pofyf ft), ft = 0. где tjk - обычный трехмерный тензор напряжений. ЗАДАЧИ
77
Задача 12.9. Рассмотрим протяженное тело массы М, на которое действует несколько сил F1. Используя принцип эквивалентности гравитационной массы и энергии, покажите, что условие равновесия для этого имеет вид
= -Mg,
где g — ускорение силы тяжести, a Xi — радиус-векторы, проведенные в точки приложения каждой из сил и измеряемые в локальной лоренцевской системе отсчета.
Задача 12.10. Используя результат задачи 12.9, покажите,
что уравнение гидростатического равновесия звезды имеет вид f = -«-(Р + р/С2),
где M (г) означает «активную» массу, находящуюся внутри оболочки вещества, расположенной на расстоянии г от центра звезды. Отсюда следует, что в сплошной среде плотность «эффективной инертной массы» есть р +р/с2. Обратите внимание, что этот результат не зависит от вида полевых уравнений общей теории относительности.
Задача 12.11. Покажите, что ньютоновское уравнение движения пробной частицы в поле ньютоновского гравитационного потенциала Ф можно записать в виде некоторого уравнения геодезической в 4-мерном пространстве-времени. Вычислите символы Кристоффеля и компоненты тензора Римана и покажите, что их нельзя вывести из какой-либо метрики.
Задача 12.12. Рассмотрев относительное ускорение различных траекторий семейства траекторий пробных частиц, движущихся в ньютоновском поле тяготения, и сравнив результат с ньютоновским пределом уравнения расхождения геодезических, вывести соотношение
R ¦¦¦-Kjoko - dxJdxk
между ньютоновским потенциалом и тензором Римана. (Ньютоновская пробная частица испытывает воздействие только силы тяготения; пробная частица в релятивистской теории тяготения движется по геодезической.)
Задача 12.13. Запишите закон всемирного тяготения Ньютона в ковариантном 4-мерном виде, используя в качестве универсальной ньютоновской функции времени некоторое скалярное поле. Покажите, что получающаяся теория не противоречит специальной теории относительности. Покажите также, что в этой теории сигналы могут распространяться со скоростью, превосходящей 84
ГЛАВА Ij
скорость света. Является ли такая теория акаузальной, т. е. допускает ли она существование наблюдателей, способных посылать сигналы в свое собственное прошлое?
Задача 12.14. Рассмотрим две частицы с равными массами, одна из которых обладает зарядом q, а другая электрически нейтральна. Частицы помещены в свободно падающий лифт. В лифте существует электрическое поле Е, направленное вертикально вверх. Требуется вывести уравнение, описывающее изменение со временем разности высот между частицами и учитывающее как приливные, так и электрические эффекты. Показать, что присутствие обоих этих членов не противоречит принципу эквивалентности.
Задача 12.15. Предположим, что мы открыли новый вид частиц с массой т0, обладающих новым типом заряда, проявляющегося в эксперименте через силовое поле, описываемое классическим законом «обратных квадратов». Пусть некий сосуд содержит идеальный одноатомный газ, состоящий из этих частиц и находящийся в состоянии термодинамического равновесия. Полный заряд внутри сосуда измеряется по средней силе взаимодействия с пробными частицами вне его, причем оказывается, что величина заряда меняется с температурой по закону
Q~Q0(l+6?77m0). Чему равен спин нового силового поля?
Задача 12.16. Покажите (нестрого), что поле тяготения является единственным классическим полем, обладающим бесконечным радиусом действия (т. е. квантами с нулевой массой покоя) и спином, равным 2, иначе говоря, что любое другое поле с теми же свойствами точно так же взаимодействовало бы с материальными средами и, следовательно, было бы неотличимо от поля тяготения.
